Andrew Ng机器学习

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Lecture 6_Logistic Regression 逻辑回归

• 6.1 分类问题 Classification
• 6.2 假设表示 Hypothesis Representation
• 6.3 决策边界 Decision Boundary
• 6.4 代价函数 Cost Function
• 6.5 简化的代价函数和梯度下降 Simplified Cost Function and Gradient Descent
• 6.6 高级优化 Advanced Optimization
• 6.7 多类别分类：一对多 Multiclass Classification_ One-vs-all
• • 相关术语

虽然逻辑回归名字里有一个回归，但它不是回归算法。而是一种非常强大，甚至可能世界上使用最广泛的一种分类算法。

特征缩放也适用于逻辑回归。

6.1 分类问题 Classificatio

6.1 分类问题 Classification

参考视频 p32

二值分类问题 binary classification problem 定义如下：　　

6.2 假设表示 Hypothesis Representation

参考视频 p33

引入一个新的模型：逻辑回归。该输出变量范围始终在 0和1 之间。 逻辑回归模型的假设是：

𝑋 代表特征向量；
𝑔 代表逻辑函数Logistic Function 也叫 Sigmoid Function，其曲线如下：

给定输入变量x，根据选择的参数Θ，h(x)给出 y=1 的概率。y=0 的概率是 1 - h(x)

6.3 决策边界 Decision Boundary

参考视频 p34

决策边界就是模型中预测为1 和预测为0的区域的分界线。The decision boundary is the line that separates the area where y = 0 and where y = 1. It is created by our hypothesis function.

线性的决策边界：
非线性的决策边界：

6.4 代价函数 Cost Function

参考视频 p35

如果沿用线性回归里的代价函数，则会导致J(𝜃) 不是凸函数，引发很多局部最优解。

为了拟合逻辑回归模型的参数 𝜃，代价函数如下：

根据上面的公式计算代价，当预测和实际一致时代价为0，反之代价为无穷大。
y = 1时，h(x) 和 J(Θ) 对应曲线如下：

y = 0时， h(x) 和 J(Θ) 对应曲线如下：

即有以下规律：

• Cost(hθ(x),y) = 0 　　if hθ(x)=y
• Cost(hθ(x),y)→∞ 　　if y=0 and hθ(x)→1
• Cost(hθ(x),y)→∞ 　　if y=1 and hθ(x)→0

6.5 简化的代价函数和梯度下降 Simplified Cost Function and Gradient Descent

参考视频 p36

将上面两个式子 简化为下面一个式子（当 y 分别等于0或1时，式子只剩下两项中的一项）：

完整的代价函数如下：

一个向量实现如下：

梯度下降过程如下：

使用数学方法推倒上式中 J(Θ) 的导数：

带入更新算法中，得到下面算法：

上面这个梯度下降算法 看起来和线性回归一样，但事实上是完全不同的。因为之前 h(x) 是线性函数，而逻辑回归中 h(x) 定义如下：

一个梯度下降的向量化实现如下

6.6 高级优化 Advanced Optimization

参考视频 p37

除梯度下降算法以外，还有一些常被用来令代价函数最小的算法。这些算法更加复杂和优越，而且通常不需要人工选择学习率，比梯度下降算法要更加快速。这些有： 共轭梯度 （Conjugate Gradient）， 局部优化法 （Broyden fletcher goldfarb shann,BFGS）和有限内存局部优化法 （LBFGS）。

这些算法有一个智能的内部循环，称为线性搜索(line search)算法，它可以自动尝试不同的学习速率 。只需要给这些算法提供计算导数项和代价函数的方法，就可以返回结果。适用于大型机器学习问题。
它们太复杂，不应该自己实现，而是调用MATLAB方法。例如一个无约束最小值函数 fminunc 。它会使用众多高级优化算法中的一个，就像加强版的梯度下降法，自动选择学习速率，找到最佳的 Θ 值。
使用时需要提供代价函数和每个参数的求导，我们自己实现 costFunction 函数，传入参数Θ，可以一次性返回以下两个值：

例子，调用 fminunc() 函数，用@传入costFunction函数的指针，初始化的 theta，还可以增加 options（GradObj = on 指 “打开梯度目标参数”，即我们会给这个函数提供梯度参数）：

6.7 多类别分类：一对多 Multiclass Classification_ One-vs-all

参考视频 p38

多分类问题中，y 有 {0,1…n} 一共 n+1 中可能值。方法：
（1）拆分成 n+1 个二分类问题。
（2）对每个分类，都预测出一个h(x)值。代表 y是这个类型的可能性。
（3）最后结果为可能性最大的那个类型。

相关术语

decision boundary 决策边界
loophole　漏洞
nonlinear 非线性
penalize 使不利