FEA 部分汇总

FEA 部分汇总"/>

FEA 部分汇总

周一：

为什么用数值模拟解决问题

工程实际问题非常复杂，无法用解析法求解

解析法和数值法有什么区别

上图：

数值模拟的一般框架

1. 实际问题：动态/静态/稳态…；刚体力学/热力学/流体力学/电磁学/声学
2. 【理想化】数学模型：控制方程；边界/初始条件
3. 【离散化】数值模型：近似求解；有限元分析；离散算法
4. 【求解】数值结果：用数值技巧求解线性系统

控制方程的不同问题和相关术语

1. 控制方程：由微分方程描述的物理现象，基于物理定律和本构方程给出。
2. 分类：标/矢量方程；空间维度（笛卡尔坐标，极坐标，球坐标）；时间依赖；偏微分方程的阶
3. 术语：参数&标量；定义域；边界；负载条件和边界条件；初始条件

周二

有限元法的关键概念

1. 定义域离散化：mesh在节点处计算。连续的无限问题→分块有限问题
2. 有限元组成：有限元公式：积分表示→（线性）代数表示。多项式插值函数→shape functions
3. 全局数值求解：通过node的连接分布。全局矩阵大且稀疏。

FEA的一般步骤

上图：

不同步骤的关键和目的

step 0： modelling consideration

数学建模先于有限元模型完成，注意利用对称性、材料属性、边界/加载条件、几何非线性是不是很重要、动态影响是不是很重要。

step 1： geometrical model

注意导入问题，以及特性缺失、几何冲突等。
CAD和FE文件需要的模型细节不同。

step 2.1 material properties

最简单的材料特性：线弹性，各向同性，同质，以及热导率，泊松比，比热容。更复杂的滞弹性，蠕变，应变率……

step 2.2 discretization of domain

由于离散化导致的误差只能减少不能消除！
mesh质量的两个判断：角变形&&长宽比

处理思路：分而治之。划分不同的网格。注意收敛性。

step 2.3 element selection

依据：FE公式，本构关系，维度，形状和阶次

step 2.4 analysis types

线性/非线性分析：迭代法

静力/动力分析：动力分析考虑时间的影响
时域分析：时域上的小增量
频域分析：系统频率响应分析

step 2.5 constraint and loading conditions

这俩条件必须有，没有就会奇异or无解

频率分析中忽略加载条件

step 3.1 assembly of global system

用节点之间的连接串起所有step2上得到的东西。

step 3.2 solve FE equations

迭代法：
利用算法实现一系列的近似
利用收敛准则求解

step 4 interpretation of results

模拟得到的二级变量不太准确；进行图形后处理

通常需要的结果：最大挠度，高应力集中区，冲击动载荷，纵弯曲负载

！合理性检查

step 5 modifications/revisions

数学模型到数值模型的两个步骤

classic approach：最小势能和虚功原理
加权残余法：测试函数*系数

控制方程的形式

strong微分形式
weak虚功原理
variational forms基于最小势能原理

FE公式 && Galerkin加权残余法

加权残余法：测试函数，误差，权重函数，线性系统

周三

多项式函数→一维形状函数

通常用截断多项式函数，一次/二次多项式+分段连续

自然坐标

求解时涉及矩阵转置，太难不用

定义域为【0，1】或【-1，1】

拉格朗日插值法

通过拉格朗日插值使得每一项在所需要的点上为0，分母保证了形状函数的连续

shape函数的完整性和兼容性要求

周三

不同标量场问题的控制方程的通用性

描述热传导问题，控制函数，本构方程

一维有限元的导数，解决一维热传导问题

领会精神，本篇完结。