FEA 笔记3

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FEA 笔记3

outcomes：

能够理解多项式对一维形状函数的一般推导功能。
能够区分物理坐标和局部坐标（内部）。
能够使用拉格朗日插值导出高阶形状函数元素。
能够描述与兼容性和形状函数的完整性要求。
能够使用扩展的Lagrange导出2D元素形状函数插值器。
能够理解和使用区域坐标作为2D三角形的形状函数元素。

1D情况

1. 在FEA方法中，插值函数，通常被称为形状函数，如下:
   

2. 在大多数FEA中，分段的多项式函数由于其简洁性经常被使用，1D情况下表达式为：
   

一般的推导方法

线性和二次型的多项式方程一般如下给出：

注意到元素上的点数量和函数中单项式的数量相同。

通过在元素的结束节点定义字段变量，字段解决方案至少在元素之间是分段连续的。

每个点上，场变量通常被如下表示：


带入插值函数：

这个方法尽管很有效，但不常用。它里面包括的矩阵转置并不容易，尤其是包含有物理坐标的矩阵。

##1D线性形状函数##

线性多项式：

有2个特征点的线性元素：

转置矩阵：

得

##1D二次型形状函数##

二次多项式：

有3个特征点的元素：

得

##自然坐标里的元素##

需要注意的是，自然坐标里标准元素具有定义良好的形状和边界限制【（0_1）或（-11）】

1D线性元素：

1D二次型元素：

##收敛性要求##

为了实现这种收敛，形状函数必须满足两个基本要求:兼容性，完整性。
主要变量都具有收敛性【温度、位移】，次要变量不一定了【热通量、压力】

为了满足兼容性，形状函数必须具有Kronecker函数特性：

这意味着形状函数：在它自结点处=1，在其他节点处=0.
这个性质保证了空间和区域变量至少是跨元素边界分段连续的。

为了满足完整性，形状函数应具有一下两大性质：

单位性质的划分：在固体力学中，这相当于刚体运动

线性场复制：该元素可以重现辅助变量的常数场解，在固体力学中，这相当于恒应变状态。

##通过拉格朗日插值得到高阶元素##

方程为：

应用于1D二次型元素：

##2D&3D元素##

场变量在2D和3D之间切换的时候，就需要两种元素。

对于线性元素类型，节点只在顶点上。对于二次型，需要中间节点提供沿单元边的二次变化。

对于二维和三维元素，多项式分别由帕斯卡三角形和帕斯卡金字塔表示。

用于推导形状函数的多项式依赖于:
•元素中的节点数
•总是先使用低阶项

##2D元素的多项式##

##3D元素的多项式##