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支持向量机SVM基本理论
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基本概念
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SVM - Support Vector Machine。支持向量机，其含义是通过支持向量运算的分类器。其中“机”的意思是机器，可以理解为分类器。
什么是支持向量呢？在求解的过程中，会发现只根据部分数据就可以确定分类器，这些数据称为支持向量。
见下图，在一个二维环境中，其中点R，S，G点和其它靠近中间黑线的点可以看作为支持向量，它们可以决定分类器，也就是黑线的具体参数。
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分类器：就是分类函数。
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线性分类：可以理解为在2维空间中，可以通过一条直线来分类。在p维空间中，可以通过一个p-1维的超平面来分类。
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向量：有多个属性的变量。在多维空间中的一个点就是一个向量。比如 x=(x1,x2,...,xn) x=(x1,x2,...,xn)。下面的 w w也是向量。
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约束条件(subject to) ： 在求一个函数的最优值时需要满足的约束条件。
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向量相乘: xwT=∑ni=1wixi xwT=∑i=1nwixi
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内积: ⟨x,y⟩=∑ni=1xiyi ⟨x,y⟩=∑i=1nxiyi
解决的问题：
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线性分类
在训练数据中，每个数据都有n个的属性和一个二类类别标志，我们可以认为这些数据在一个n维空间里。我们的目标是找到一个n-1维的超平面（hyperplane），这个超平面可以将数据分成两部分，每部分数据都属于同一个类别。
其实这样的超平面有很多，我们要找到一个最佳的。因此，增加一个约束条件：这个超平面到每边最近数据点的距离是最大的。也成为最大间隔超平面（maximum-margin hyperplane）。这个分类器也成为最大间隔分类器（maximum-margin classifier）。
支持向量机是一个二类分类器。 -
非线性分类
SVM的一个优势是支持非线性分类。它结合使用拉格朗日乘子法和KKT条件，以及核函数可以产生非线性分类器。 -
分类器1 - 线性分类器
f(x)=xwT+b(1) (1)f(x)=xwT+b
是一个线性函数，可以用于线性分类。一个优势是不需要样本数据。
classifier 1:
w w 和 b b 是训练数据后产生的值。 -
分类器2 - 非线性分类器
f(x)=∑ni=1αiyiK(xi,x)+bherexi : training data iyi : label value of training data iαi : Lagrange multiplier of training data iK(x1,x2)=exp(−∥x1−x2∥22σ2) : kernel function(2) (2)f(x)=∑i=1nαiyiK(xi,x)+bherexi : training data iyi : label value of training data iαi : Lagrange multiplier of training data iK(x1,x2)=exp(−∥x1−x2∥22σ2) : kernel function
支持线性分类和非线性分类。需要部分样本数据（支持向量），也就是 αi≠0 αi≠0的数据。
∵ ∵
w=∑ni=1αiyixi w=∑i=1nαiyixi
∴ ∴
classifier 2:
α α, σ σ 和 b b 是训练数据后产生的值。
可以通过调节 σ σ来匹配维度的大小， σ σ越大，维度越低。
核心思想
- SVM的目的是要找到一个线性分类的最佳超平面 f(x)=xwT+b=0 f(x)=xwT+b=0。求 w w 和 b b。
- 首先通过两个分类的最近点，找到 f(x) f(x)的约束条件。
- 有了约束条件，就可以通过拉格朗日乘子法和KKT条件来求解，这时，问题变成了求拉格朗日乘子 αi αi 和 b b。
- 对于异常点的情况，加入松弛变量 ξ ξ来处理。
- 使用SMO来求拉格朗日乘子 αi αi和 b b。这时，我们会发现有些 αi=0 αi=0，这些点就可以不用在分类器中考虑了。
- 惊喜! 不用求 w w了，可以使用拉格朗日乘子 αi αi和 b b作为分类器的参数。
- 非线性分类的问题：映射到高维度、使用核函数。
详解
线性分类及其约束条件
SVM的解决问题的思路是找到离超平面的最近点，通过其约束条件求出最优解。
对于训练数据集T，其数据可以分为两类C1和C2。
对于函数： f(x)=xwT+b f(x)=xwT+b
对于C1类的数据 xwT+b⩾1 xwT+b⩾1。其中至少有一个点 xi xi， f(xi)=1 f(xi)=1。这个点称之为最近点。
对于C2类的数据 xwT+b⩽−1 xwT+b⩽−1。其中至少有一个点 xi xi， f(xi)=−1 f(xi)=−1。这个点称也是最近点。
上面两个约束条件可以合并为：
yif(xi)=yi(xiwT+b)⩾1 yif(xi)=yi(xiwT+b)⩾1。
yi yi是点 xi xi对应的分类值（-1或者1）。
求 w w和 b b.
则超平面函数是 xwT+b=0 xwT+b=0。
为了求最优的f(x)， 期望训练数据中的每个点到超平面的距离最大。
（解释1: 这里需要理解一个事情，根据上图，我们可以给每个点做一条平行于超平面的平行线（超平行面），因此，这个最大化相当于求最近点到超平面距离的最大化。）
总结，现在我们的公式是：
Formula 6.1
几个训练脑筋的小问题：
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Q: y是否可以是其它非{-1， 1}的值?
A: 将y值定义为{-1， 1}是最简化的方案。你的分类可以是cat和dog，只要将cat对应到1, dog对应到-1就可以了。你也可以将y值定义为其它数比如: -2, 2或者2, 3之类的，但是这样就需要修改超平面函数和约束条件，增加了没必要的繁琐，实际上和y值定义为{-1， 1}是等价的。 -
Q: 如果两组数据里的太近或者太远，是不是可能就找不到 xwT+b=1 xwT+b=1 和 xwT+b=−1 xwT+b=−1的这两个点？
A: 不会。假设可以找到 xiwT+b=c xiwT+b=c 和 xjwT+b=−c xjwT+b=−c. c>0andc<>1 c>0andc<>1。其超平面函数为 xwT+b=0 xwT+b=0.
上面公式左右同时除以c, 则：
xiwT/c+b/c=1 xiwT/c+b/c=1
xjwT/c+b/c=−1 xjwT/c+b/c=−1
令:
w′=w/c w′=w/c
b′=b/c b′=b/c
有:
xiw′T+b′=1 xiw′T+b′=1
xjw′T+b′=−1 xjw′T+b′=−1
可以找到超平面函数:
xwT+b′=0 xwT+b′=0
因此，总是可以找到y是{-1, 1}的超平面，如果有的话。
最大几何间隔（geometrical margin）
f(x) f(x)为函数间隔 γ γ。
如果求 max yf(x) max yf(x)，有个问题，就是w和b可以等比例增大，导致 yf(x) yf(x)的间隔可以无限大。因此需要变成求等价的最大几何间隔：
∥w∥ ∥w∥ : 二阶范数，也就是各项目平方和的平方根。 ∑ni=1w2i−−−−−−−√ ∑i=1nwi2
根据上面的解释，这个问题可以转变为：
再做一次等价转换：
Formula 6.2
求解问题 w,b⇔αi,b w,b⇔αi,b
我们使用拉格朗日乘子法和KKT条件来求 w w和 b b，一个重要原因是使用拉格朗日乘子法后,还可以解决非线性划分问题。
拉格朗日乘子法和KKT条件可以解决下面这个问题：
- 求一个最优化问题 f(x) f(x)
刚好对应我们的问题： min12∥w∥2 min12∥w∥2 - 如果存在不等式约束 gk(x)<=0,k=1,…,q gk(x)<=0,k=1,…,q。
对应 subject to 1−yi(xiwT+b)<=0,i=1,...,n subject to 1−yi(xiwT+b)<=0,i=1,...,n - F(x)必须是凸函数。这个也满足。
SVM的问题满足使用拉格朗日乘子法的条件。因此问题变成：
Formula 6.3
消除 w w之后变为：
Formula 6.4
⟨xj,xi⟩ ⟨xj,xi⟩是 xj xj 和 xi xi的内积，相当于 xixTj xixjT。
可见使用拉格朗日乘子法和KKT条件后，求 w,b w,b的问题变成了求拉格朗日乘子 αi αi和 b b的问题。
到后面更有趣，变成了不求 w w了，因为 αi αi可以直接使用到分类器中去，并且可以使用 αi αi支持非线性的情况（ xwT+b xwT+b是线性函数，支持不了非线性的情况哦）。
以上的具体证明请看：
解密SVM系列（二）：SVM的理论基础
关于拉格朗日乘子法和KKT条件，请看：
深入理解拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier)和KKT条件
处理异常点（outliers）
如上图：点w是一个异常点，导致无法找到一个合适的超平面，为了解决这个问题，我们引入松弛变量(slack variable) ξ ξ。
修改之间的约束条件为： xiwT+b>=1–ξifor all i = 1, …, n xiwT+b>=1–ξifor all i = 1, …, n
则运用拉格朗日乘子法之后的公式变为：
Formula 6.5
输入参数：
- 参数 C C，越大表明影响越严重。 C C应该一个大于0值。其实 C C也不能太小，太小了就约束 αi αi了，比如200。
- 参数 ξ ξ，对所有样本数据起效的松弛变量，比如：0.0001。
具体证明请看：
解密SVM系列（二）：SVM的理论基础
求解 α α - 使用SMO方法
1996年，John Platt发布了一个称为SMO的强大算法，用于训练SVM。SMO表示序列最小优化（Sequential Minimal Optimization）。
SMO方法：
概要：SMO方法的中心思想是每次取一对 αi αi和 αj αj，调整这两个值。
参数: 训练数据/分类数据/ C C/ ξ ξ/最大迭代数
过程：
初始化 α α为0；
在每次迭代中 （小于等于最大迭代数），
- 找到第一个不满足KKT条件的训练数据，对应的 αi αi，
- 在其它不满足KKT条件的训练数据中，找到误差最大的x，对应的index的 αj αj，
- αi αi和 αj αj组成了一对，根据约束条件调整 αi αi, αj αj。
不满足KKT条件的公式：
Formula 6.6
调整公式：
Formula 6.7
αnew2=αold2−y2(E1−E2)ηαnew1=αold1+y1y2(αold2−αnew2)b1=bold−E1−y1(αnew1−αold1)K(x1,x1)−y2(αnew2−αold2)K(x1,x2)b2=bold−E2−y1(αnew1−αold1)K(x1,x2)−y2(αnew2−αold2)K(x2,x2)b=⎧⎩⎨⎪⎪b1b2b1+b22if 0⩽αnew1⩽Cif 0⩽αnew2⩽CotherwisehereEi=ui−yiη=2K(x1,x2)−K(x1,x1)−K(x2,x2)ui=∑nj=1αjyjK(xj,xi)+bK(x1,x2)=⟨x1,x2⟩(11) (11)α2new=α2old−y2(E1−E2)ηα1new=α1old+y1y2(α2old−α2new)b1=bold−E1−y1(α1new−α1old)K(x1,x1)−y2(α2new−α2old)K(x1,x2)b2=bold−E2−y1(α1new−α1old)K(x1,x2)−y2(α2new−α2old)K(x2,x2)b={b1if 0⩽α1new⩽Cb2if 0⩽α2new⩽Cb1+b22otherwisehereEi=ui−yiη=2K(x1,x2)−K(x1,x1)−K(x2,x2)ui=∑j=1nαjyjK(xj,xi)+bK(x1,x2)=⟨x1,x2⟩
具体证明请参照:
解密SVM系列（三）：SMO算法原理与实战求解
最后一步：解决非线性分类
根据机器学习的理论，非线性问题可以通过映射到高维度后，变成一个线性问题。
比如：二维下的一个点 <x1,x2> <x1,x2>, 可以映射到一个5维空间，这个空间的5个维度分别是: x1,x2,x1x2,x12,x22 x1,x2,x1x2,x12,x22。
映射到高维度，有两个问题：一个是如何映射？另外一个问题是计算变得更复杂了。
幸运的是我们可以使用核函数(Kernel function)来解决这个问题。
核函数(kernel function)也称为核技巧(kernel trick)。
核函数的思想是：
仔细观察Formula 6.6 和 Formula 6.7，就会发现关于向量 x x的计算，总是在计算两个向量的内积 K(x1,x2)=⟨x1,x2⟩ K(x1,x2)=⟨x1,x2⟩。
因此，在高维空间里，公式的变化只有计算低维空间下的内积 ⟨x1,x2⟩ ⟨x1,x2⟩变成了计算高维空间下的内积 ⟨x′1,x′2⟩ ⟨x1′,x2′⟩。
核函数提供了一个方法，通过原始空间的向量值计算高维空间的内积，而不用管映射的方式。
我们可以用核函数代替 K(x1,x2) K(x1,x2)。
核函数有很多种, 一般可以使用高斯核（径向基函数（radial basis function））
Formula 6.8
可以通过调节 σ σ来匹配维度的大小， σ σ越大，维度越低，比如10。
可以参照：
解密SVM系列（四）：SVM非线性分类原理实验
支持向量机通俗导论（理解SVM的三层境界）
如何解决多类分类问题
支持向量机是一个二类分类器。基于SVM如何构建多类分类器，建议阅读C. W. Huset等人发表的一篇论文"A Comparison of Methods for Multiclass Support Vector Machines"。需要对代码做一些修改。
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