PCA数学

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PCA数学

对称阵的性质：（symmetric matrix）

1. 实对称矩阵的特征值都是实数；
2. 实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量必正交；
3. 实对称矩阵必可对角化；

元素以 主对角线为对称轴对应相等的矩阵。1855年，埃米特(C.Hermite,1822-1901年)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。

后来，克莱伯施(A.Clebsch,1831-1872年)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入 矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。

特性
1.对于任何方形矩阵X，X+X T是对称矩阵。

2.A为方形矩阵是A为对称矩阵的 必要条件。

3 对角矩阵都是对称矩阵。

两个对称矩阵的积是对称矩阵， 当且仅当两者的 乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。

用<,>表示上的 内积。n×n的实矩阵A是对称的，当且仅当对于所有
X, Y∈
( A(x) , Y )=( X, A(Y))。

正交矩阵（orthogonal matrix）

如果：AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”。）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵，若A为正交阵，则满足以下条件
1)AT是正交矩阵
2)（E为单位矩阵）
3)AT的各行是单位向量且两两正交
4)AT的各列是单位向量且两两正交
5)(Ax,Ay)=(x,y)x,y∈R
6)|A|=1或-1
7)
8)正交矩阵通常用字母Q表示。
(9)举例：
若A=[r11r12r13;r21r22r23;r31r32r33]，则有：