布尔巴基学派的现代数学观

布尔巴基学派的现代数学观"/>

布尔巴基学派的现代数学观

    在一般人看来，数学就是代数、集合与微积分。虽然这句话不算错，但是在布尔巴基看来，观点陈旧了一些。，

          我们不是火星人，需要面对人类的历史事实，而不能迴避这一切。在数学发展历时上，自从皮亚诺（Giuseppe Peano，1858至1932年）与大卫.希尔伯特（David. Hilbert，1863至1943年）以及其他数学家大力主张（或提倡）数学的“公理化体系”（Axiomatic Systems）以来，现代数学大大地改变了模样，从朴素的（Naive）数学形态演变为现代的(Modern)数学形态。由此，布尔巴基的数学故事也就要重新写了。

          什么是公理化体系？实际上，所谓“公理化体系”就是由一组公理（Axioms）与相关定义（或规定，即Definitions）构建起来的一种逻辑演绎体系（也叫”数学结构“）。这里值得我们注意的是：当这种数学结构是客观现象的“模型”时，那么，基于这种数学结构的的逻辑推理能够提供关于这种客观现象的理解（洞察）与预测。简而言之，我们搞的公理体系必须符合实际，否则，就是概念游戏。

          在布尔巴基小组里面，安德烈.韦伊（AndreWeil）是唯一懂得挪威语的人。他将空集合（EmptySet）用挪威语黑体字母”Ǿ”表示。后来，这种表示法也成了一种世界“标准”。布尔巴基学派讲现代数学的故事就从这个空集合Ǿ符号开始了。实际上，布尔巴基如此定义自然数：数字0=Ǿ（空集本身），1={Ǿ}空集作为集合的元素），2={Ǿ，{Ǿ}}，3={Ǿ，{Ǿ}，{Ǿ，{Ǿ}}}，4={......}}}}(注意，这里有4个“}”右括号)，......因此，数字0⊂1，1⊂2，2⊂3，......(注意：符号“⊂”是后者包含前者的意思），也可以理解为：0≤1，1≤2，2≤3，（顺序关系）......更为有趣的是：0∈1，1∈2，2∈3，......（说明：符号“∈”是包含在内的意思，即前者是后者的元素，前者包含在后者的里面）。

         据此，我们有了自然数系N，整数系Z，继有了有理数系Q，实数系R，以及超实数系*R（注意：星号“*”必须打在实数系R符号的左上方，这是非标准分析的规矩。超实数系*R里面包含有“无穷小”）。至此，我们有了各种数系。后面，布尔巴基就要在其上分别引入不同的公理系统与相关概念的“定义”，使其成为不同的“数学结构”，进一步就要开展他们所谓的“数学研究”了。比如，布尔巴基利用实数系R构建“连续统”（Continium，物理量的模型），在数学上，也叫“实数轴”。再进一步构建平面坐标系（即坐标平面），再进而构建三维空间，......，等等。

           极端地说，现代数学就是空集Ǿ的逻辑延伸物（可谓“无中生有”）。空集Ǿ本身虽然有点儿飘渺不定，但是，数字1={Ǿ}却是实实在在的数学“实体”（Entity），硬邦邦的“存在物”。那么，我们要问：这种纯粹逻辑虚构的数学大厦是否有用呢？实际上，“好奇号”火星车万里迢迢飞往火星的运行轨道全是依靠数学公式预先计算出来的，结果准确无误。你说，现代数学到底灵验不灵验？