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自适应辛普森公式

辛普森公式是数值方法中常用的计算函数定积分的近似方法。

• 计算定积分的方法
• 辛普森公式的推导
• 其他N-C公式
• 自适应方法

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计算定积分的方法

• 求原函数
• 直接查表
• 这个求不出来怎么办 ∫x0t3et−1dt ∫ 0 x t 3 e t − 1 d t $$\int_0^x \frac{t^3}{e^t-1}\,dt$$
• 那就不求原函数
• 数值积分

辛普森公式的推导

辛普森（Simpson）公式是牛顿-科特斯公式当n=2时的情形，也称为三点公式。利用区间二等分的三个点来进行积分插值。其科特斯系数分别为1/6，4/6，1/6。 —— [ 百度百科 ]

于是我们引入了辛普森公式

∀f(x)=a1x3+a2x2+a3x+a4 ∀ f ( x ) = a 1 x 3 + a 2 x 2 + a 3 x + a 4 $$\forall f(x)=a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4$$
∫baf(x)dx=Δx[(f(a)+4f(a+b2)+f(b)]3 ∫ a b f ( x ) d x = Δ x [ ( f ( a ) + 4 f ( a + b 2 ) + f ( b ) ] 3 $$\int_a^b f(x) \,dx = \frac{\Delta x[(f(a)+4f(\frac{a+b}{2})+f(b)]}{3}$$
Δx=a+b2 Δ x = a + b 2 $$\Delta x = \frac{a+b}{2}$$

怎么推导呢？

配方法！！

∫baf(x)dx=Δx[(f(a)+4f(a+b2)+f(b)]3 ∫ a b f ( x ) d x = Δ x [ ( f ( a ) + 4 f ( a + b 2 ) + f ( b ) ] 3 $$\int_a^b f(x) \,dx = \frac{\Delta x[(f(a)+4f(\frac{a+b}{2})+f(b)]}{3}$$
=14a1(a4−b4)+13a2(a3−b3)+12a2(a2−b2)+a3(a−b) = 1 4 a 1 ( a 4 − b 4 ) + 1 3 a 2 ( a 3 − b 3 ) + 1 2 a 2 ( a 2 − b 2 ) + a 3 ( a − b ) $$= \frac{1}{4}a_1(a^4-b^4)+\frac{1}{3}a_2(a^3-b^3) +\frac{1}{2}a_2(a^2-b^2)+a_3(a-b)$$
=b−a2{13(a1a3+a2a2+a3a+a4)+43[a1(a+b2)3+a2(a+b2)2+a3a+b2+a4]+13(a1b3+a2b2+a3b+a4)} = b − a 2 { 1 3 ( a 1 a 3 + a 2 a 2 + a 3 a + a 4 ) + 4 3 [ a 1 ( a + b 2 ) 3 + a 2 ( a + b 2 ) 2 + a 3 a + b 2 + a 4 ] + 1 3 ( a 1 b 3 + a 2 b 2 + a 3 b + a 4 ) } $$= \frac{b-a}{2}\{\frac{1}{3}(a_1a^3+a_2a^2+a_3a+a_4)+\frac{4}{3}[a_1(\frac{a+b}{2})^3+a_2(\frac{a+b}{2})^2+a_3\frac{a+b}{2}+a_4]+\frac{1}{3}(a_1b^3+a_2b^2+a_3b+a_4)\}$$
=a+b2(f(a)+4f(a+b2)+f(b)3 = a + b 2 ( f ( a ) + 4 f ( a + b 2 ) + f ( b ) 3 $$= \frac{a+b}{2}\frac{(f(a)+4f(\frac{a+b}{2})+f(b)}{3}$$

这就说明了：

任何一个不大于三次的函数的定积分都可以写成这样的辛普森公式！

有什么用呢？

用来近似！

假装其他函数的某一部分是一个不大于三次的函数

那么它的定积分也就好求了

用辛普森公式就行了

先用Simpson公式近似，万一近似导致误差太大，那么就二分，分成两段区间分别近似。

怎么近似呢？

直接带公式啊

什么叫误差太大呢？

先算区间 A=Simpson(a,b) A = S i m p s o n ( a , b ) $$A=Simpson(a,b)$$ 的近似值，然后分别算一下 L=Simpson(a,a+b2) L = S i m p s o n ( a , a + b 2 ) $$L=Simpson(a,\frac{a+b}{2})$$ 和 R=Simpson(a+b2,b) R = S i m p s o n ( a + b 2 , b ) $$R=Simpson(\frac{a+b}{2},b)$$ 的近似值

假如 L+R−A≤15∗σ(σ是预设的精度) L + R − A ≤ 15 ∗ σ ( σ 是 预 设 的 精 度 ) $$L+R-A \leq 15*\sigma(\sigma是预设的精度)$$

那么我们就需要分别重新计算 (a,a+b2)(a+b2,b) ( a , a + b 2 ) ( a + b 2 , b ) $$(a,\frac{a+b}{2})(\frac{a+b}{2},b)$$ 的积分值

此时精度的限制要缩小一半

然后我用Java实现了一下
发现貌似记得太清楚了
跟lrj老师写的一模一样

class Simpson {// 三点simpson法public double simpson(double a, double b) {double c = a + (b-a)/2;return (F(a)+4*F(c)+F(b))*(b-a)/6;}// 自适应Simpson公式（递归过程）。已知整个区间[a,b]上的三点simpson值Apublic double asr(double a, double b, double eps, double A) {double c = a + (b-a)/2;double L = simpson(a, c), R = simpson(c, b);if(Math.abs(L+R-A) <= 15*eps) return L+R+(L+R-A)/15.0;return asr(a, c, eps/2, L) + asr(c, b, eps/2, R);}// 自适应Simpson公式（主过程）public double asr(double a, double b, double eps) {return asr(a, b, eps, simpson(a, b));}
}

其他的N-C公式