中值定理【习题集】

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中值定理【习题集】

文章目录

• Ch3.微分中值定理及导数应用
• • 4.证明函数不等式
  • (二) 导数应用
  • 1.函数的单调性
  • 2.函数的 极值
  • 3.函数的最大最小值
  • 4.曲线的凹凸性与拐点
  • 5.曲线的渐近线
  • 6.函数的作图
  • 7.曲线的弧微分 与 曲率、曲率半径
  • 题型
  • • 2.不等式的证明
    • 3.中值定理证明题

Ch3.微分中值定理及导数应用

4.证明函数不等式

(二) 导数应用

1.函数的单调性

2.函数的 极值

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例题1：03年7.

分析：极值点是驻点 ( f ′ ( x 0 ) = 0 ) (f'(x₀)=0) (f′(x0​)=0)或者不可导点 ( f ′ ( x 0 ) 不存在 ) (f'(x₀)不存在) (f′(x0​)不存在)

从左到右依次为：驻点a，驻点b，不可导点0，驻点c
显然：
①驻点a为极大值点
②驻点b为极小值点
③不可导点0，由极值的第一充分条件，得x=0为极大值点
④驻点c为极小值点

答案：C

例题2：武24 D67   极值第二充分条件： f ′ ′ ( x ) > 0 ，极小值 f''(x)>0，极小值 f′′(x)>0，极小值

分析：

答案：B

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3.函数的最大最小值

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例题1：转换目标函数

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4.曲线的凹凸性与拐点

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例题1：15年1.

分析：
①拐点的必要条件(可能为拐点的点)：f’‘(x)=0或 f’‘(x)不存在。有三个点x=a，x=0，x=b
②拐点的充分条件：f’‘(x)在该点处左右的负号改变，显然排除x=a，剩余两个x=0，x=b满足f’'(x)负号改变，是拐点

答案：C

例题2：武忠祥老师每日一题 24.Day66.   拐点是一个二维坐标

分析： 求拐点：二阶导=0

化简可得 y ′ ′ = 10 9 x − 4 3 ( x + 1 ) y''=\dfrac{10}{9}x^{-\frac{4}{3}}(x+1) y′′=910​x−34​(x+1)
可能为拐点(拐点的必要条件)：f’‘(x)=0或f’‘(x)不存在
f’‘(x)=0：x=-1
f’'(x)不存在：x=0

充分条件2：f’‘(x)在 x 0 x_0 x0​两侧变号，可见y’'在-1左右变号，在0左右不变号。则(-1,-6)是拐点

答案： ( − 1 , − 6 ) (-1,-6) (−1,−6)

例题4：武每日一题Day68

分析：

答案：C

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5.曲线的渐近线

6.函数的作图

7.曲线的弧微分 与 曲率、曲率半径

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例题1:23李林六套卷(五)1.

分析：

答案：C

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题型

2.不等式的证明

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例题1：拉格朗日中值定理 证明不等式

例题2：单调性 证明不等式

例题3：

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3.中值定理证明题

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例题1：

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