ln公式及其推导

公式及其推导"/>

ln公式及其推导

ln ⁡ \ln ln公式及其推导

注：以下步骤如果可以将底数替换成其它数可自行证明，这里仅用 e e e和 ln ⁡ x \ln x lnx举例。

对数和公式

证明： ln ⁡ a + ln ⁡ b = ln ⁡ ( a ⋅ b ) \ln a+\ln b=\ln (a\cdot b) lna+lnb=ln(a⋅b)

e ln ⁡ a + ln ⁡ b = e ln ⁡ a ⋅ e ln ⁡ b e^{\ln a+\ln b}=e^{\ln a}\cdot e^{\ln b} elna+lnb=elna⋅elnb
= a ⋅ b =a\cdot b =a⋅b
= e ln ⁡ ( a ⋅ b ) =e^{\ln (a\cdot b)} =eln(a⋅b)
exp ⁡ x \exp x expx单调，所以 ln ⁡ a + ln ⁡ b = ln ⁡ ( a ⋅ b ) \ln a+\ln b=\ln (a\cdot b) lna+lnb=ln(a⋅b)。
或者等式两边同时取对数，亦证。

对数积公式

证明： b ⋅ ln ⁡ a = ln ⁡ ( a b ) b\cdot \ln a =\ln (a^b) b⋅lna=ln(ab)

e b ⋅ ln ⁡ a = ( e ln ⁡ a ) b e^{b\cdot\ln a}=(e^{\ln a})^b eb⋅lna=(elna)b
= a b =a^b =ab
= e ln ⁡ ( a b ) =e^{\ln(a^b)} =eln(ab)
exp ⁡ x \exp x expx单调，所以 b ⋅ ln ⁡ a = ln ⁡ ( a b ) b\cdot \ln a =\ln (a^b) b⋅lna=ln(ab)。
或者等式两边同时取对数，亦证。

换底公式

证明： log ⁡ a b = log ⁡ c b log ⁡ c a \log_a{b}=\frac{\log_c{b}}{\log_c{a}} loga​b=logc​alogc​b​

log ⁡ c b log ⁡ c a = log ⁡ c a log ⁡ a b log ⁡ c a \frac{\log_c{b}}{\log_c{a}}=\frac{\log_c{a^{\log_a{b}}}}{\log_c{a}} logc​alogc​b​=logc​alogc​aloga​b​
= log ⁡ a b ⋅ log ⁡ c a log ⁡ c a =\frac{{\log_a{b}\cdot\log_c{a}}}{\log_c{a}} =logc​aloga​b⋅logc​a​
= log ⁡ a b =\log_a{b} =loga​b