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数学大厦轰然倒塌（乛◡乛）怎么破？
有很多民科喜欢搞一些奇奇怪怪的推导，最终证明“数学大厦轰然倒塌”，虽然这些证明过程大多存在各种各样的初等数学小BUG，但这些小BUG有时候并不是很容易就能找到，这就激发了我的一丝丝好奇心。不出两分钟，我就找到了一种轻松识破BUG的方法——判断推理的充要性。
收集到的例子列举如下，都是一些比较经典的初等数学问题。即使民科们根本不会被这些“困难”所阻挠，但长长见识还是好的——既可以加深对数学的理解，还能帮助一些小初高同学解答疑惑，何乐而不为呢？
1. 假设①
那么②
所以③
利用平方差公式，有④
两边同时除以，有⑤
带入原假设，得到⑥
也即⑦
很显然，第⑤步有大问题：不能除以因为它等于0。但这只是意味着，并不能直接否定结论⑦——这种“虽然挑出来错了但是仍然让对方有辩解的余地”的感觉令人很不爽。而实际上，这也正是民科们有恃无恐，而且也永远不会承认推导有错的地方。
我们换种思路，从推理的根基——逻辑代数的层面来分析上述问题。实际上上述推理过程可以写成：（自己想为什么可以写成这样，想不出来回去复习充要条件）
并不意味着：
而是意味着
所以在第⑥步，根本就不能代入原假设，因为这两者是不相容的。
看到没，错误不仅出现在第⑤步，还出现在第⑥步！
另外，我们需要注意，在①-②推理时，①只是②的充分条件，而非必要条件。这样一步一步推下来的最终的结论，必然比原来的问题更宽松。换句话说，如果希望结论还能推回原问题，我们应该保证每一步都是充分必要条件才行。
上面这个问题很简单，即使不用充要条件也能讲明白，而下面这个问题就不那么“仁慈”了。
2. 仅考虑实数域的解，解方程①
方程两边同时除以，有②
由①我们还可以得到③
将③代入②，有④
对④进行移项，得到⑤
对该方程，如果只考虑实数域，只有唯一解⑥
将⑥代入原方程①，可以得到⑦
可怜的数学大厦再一次“轰然倒塌”！！！
(乛◡乛)
为了直观起见，我画了一张关系图，图中箭头由②指向①，表示②是①的充分条件：
原推理过程的最后，联立了①和⑥然后得出了一个奇怪的结论。我们的第一反应往往是，在第②步没有考虑条件，实际上关键问题不在这里，因为按照上述逻辑过程，我们一定有：
上面这个推导，在逻辑层面上是正确的，没有任何问题。相比之下，原推导过程只不过欠缺了一个额外的条件而已，而这个额外的、被忽略的条件与最终结论并没有冲突。
问题到底出现在哪里？为什么能推出一个奇怪的结论？仔细想想，然后下拉。
( ´･ω･)
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(´･ω･`)
这是因为我们没有写全左侧命题，实际上应该写成：
我们将上述逻辑关系写成：
但是显然，我们也知道一定有如下关系：
所以 p 是假命题！！！
是不是恍然大悟？假命题可以推出一切命题，在逻辑代数中，一个命题并不一定非要为真！我们研究的只是不同命题之间的逻辑关系而已。
所以上面的推论过程看似严密（而且也确实逻辑严密），但这一切的根基，那个原命题，真值性居然为假！
事实上，数学家证明了，我们可以基于原命题（就是那个假命题）推出所有命题（比如太阳既从东边升起又从西边升起一类的，所以整个宇宙体系轰然坍塌），而民科们仅仅关注了其中一种非常可怜的情况，并从此固步自封。
那进一步想想呢？如果将条件放宽至复数域，即，推导过程将如何呢？
这样的话，关系图就应该稍作修改，第⑥步应该存在三个解，即
而正是原方程的两个复数解，命题的逻辑关系为
由于右边为析取式，因此也不存在从而再次推出一系列奇怪的命题的问题了。
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