03.并查集和克努斯卡尔最小生成树算法

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03.并查集和克努斯卡尔最小生成树算法

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一、并查集是什么

英文union find，有人说并查集是最简洁而优雅的数据结构之一，主要用于解决一些元素分组的问题。它管理一系列不相交的集合，并支持两种操作：

• 合并（Union）：把两个不相交的集合合并为一个集合。

• 查询（Find）：查询两个元素是否在同一个集合中。

形象的解释一下，并查集的使用过程：

就好像是一个盘子里有很多小水滴，你给他们编好号，如：1、2、3、4、5 ... ... 。

合并：就好像是，把这些小水滴，用筷子拨到一起（可以是两个单独的水滴；也可以是，1个单独的水滴和已经合并过的大水滴；也可以是两个和并过的大水滴）。

查询：比如查询 1号和5号是不是再一个大水滴里（可以是1和5之前合并成了一个有两滴水的水滴;也可以是，2、3、4组成的大水滴，和 5、6组成的大水滴合并成了有5个元素的水滴）。

二、并查集的使用场景

• 克努斯卡尔（Kruskal）最小生成树算法。

• 网格渗透Grid percolation

  • 网格中有一堆原点，检查是否存在路径，从底部的点到达顶部的点

• 网络连接问题

  • 检查图中的两个点，是否有边把他们连接起来。

• 树中的最近公共祖先

• 图像处理

三、并查集的时间复杂度

构建	O(n)
合并（Union）	O(1)
查找（Find）	O(1)
获取某个组的大小	O(1)
检查组是否连接	O(1)
检查组的数量	O(1)

四、图形演示

1. 查找和合并

查找：为了查找某个元素属于哪个组，只要不断查找该元素的父节点，一直到根结点为止（根结点指向自己）

合并：为了将两元素合并，只要找到这两个元素的根节点，如果他们的根节点不相同，就将其中一个根结点指向另外一个根结点。通常将元素较少的组，合并入元素较多的组。

(1) 初始时，元素自己一组，父元素都指向自己。

注意：根结点也是指向自己的，可以用这个来判断是否是跟节点。

(2) union(C,K)

合并时一般小的组，指向大的组，一样的随便选一个。

  

 

 

3. 路径压缩（优化操作复杂度）

上图是假象的，并查集合并的糟糕情况，这时要合并 E和L，就需要不停地向上寻找，一直找到 E的根结点（组）A和L的根结点（组）G。然后直接把 A指向G

这时候，如果做路径压缩的话，就是先把路径上的元素都指向根结点

然后在把A指向G

这样在查询某个元素时，把，自己和自己所有的祖先结点，全部指向根结点的操作，叫路径压缩

路径压缩，可以减少查找父元素的次数，优化查询。

对于并查集数据结构，我们通常不做 分开 un-union 操作

组的数量定义根结点的数量。并且，组的数量只会减少，不会增加。

五、并查集的实现

package dataStructures
​
type UnionFind struct {size      intgroupSize map[string]intid        map[string]stringnumGroups int
}
​
func (u *UnionFind) Init(elems []string) {u.size = len(elems)u.groupSize = make(map[string]int, u.size)u.id = make(map[string]string, u.size)u.numGroups = len(elems)for _, v := range elems {if v == "" {panic("ele can not be empty string")}u.groupSize[v] = 1u.id[v] = v}
}
​
func NewUnionFind(elems []string) *UnionFind {var u UnionFindu.Init(elems)return &u
}
​
func (u *UnionFind) Find(ele string) string {var num intvar root stringp := elefor {root = u.id[p]if root == p {break}p = rootnum++if num > u.size {panic("data error")}}//路径压缩p = elefor {next := u.id[p]if root != next {u.id[p] = root} else {break}p = next}
​return root
}
​
func (u *UnionFind) IsConnected(A, B string) bool {rootA := u.Find(A)rootB := u.Find(B)return rootA == rootB
}
​
func (u *UnionFind) Size() int {return u.size
}
func (u *UnionFind) Groups() int {return u.numGroups
}
​
func (u *UnionFind) GroupSize(ele string) int {root := u.Find(ele)return u.groupSize[root]
}
​
func (u *UnionFind) Unify(A, B string) {if _,ok := u.id[A];!ok {return}if _,ok := u.id[B];!ok {return}if u.IsConnected(A, B) {return}rootA := u.Find(A)rootB := u.Find(B)if u.groupSize[rootA] < u.groupSize[rootB] {u.groupSize[rootB] = u.groupSize[rootA] + u.groupSize[rootB]u.groupSize[rootA] = 0u.id[rootA] = rootB} else {u.groupSize[rootA] = u.groupSize[rootA] + u.groupSize[rootB]u.groupSize[rootB] = 0u.id[rootB] = rootA}u.numGroups --
}
​

六、图

1.基本概念

图：有穷集合V和边E的集合。集合中的点称为顶点（树中为节点）。

有向图和无向图：有向图--边有方向；无向图--边没有方向。

弧：有向图中的边称为弧；含箭头的顶点称为弧头，另外一边称为弧尾。

顶点的度、入度和出度：与顶点相连边的总数称为度， 有向图中，以顶点为弧头的边的总数称为 入度。 有向图中，以顶点为弧尾的边的总数称为 出度

有向完全图和无向完全图： 无向图中，n(n-1) /2 条边就可以把所有顶点全部直接连通，有n(n-1) /2 条边的无向图，称为无向完全图； 有向图中，n(n-1) 条弧，就可以把所有顶点都双向直接连通，有n(n-1) 条弧的有向图，称为有向完全图

路径和路径长度： 相邻边构成的序列，称为路径。路径上边的数目称为路径长度。

简单路径：路径中没有重复顶点称为，简单路径。

回路：起点和终端一样的路径

连通、连通图和连通分量：两个顶点直接有路径，称为连通；任意两顶点都连通称为连通图。极大连通子图，称为图的连通分量。

强连通图和强连通分量：有向图中，任意两个顶点都相互连通（A到B 、B到A都连通），强连通图

权和网：路径上有个对应数称为权，带权图，称为网。

2、图的存储结构

（1）邻接矩阵

（2）邻接表

（3）邻接多重表

七、克努斯卡尔-最小生成树算法

给出一个图G = (V,E),V表示顶点，E表示边，E上可以带有权重weight，我们需要在图中找出一颗最小生成树（可能并不唯一）。一棵最小生成树是图中所有边的一个子集，但是不能形成环，并且这些边上的权重总和是最小的。

 

运行克努斯卡尔算法后：

有可能有其他，最小生成树，总权重也是14.

1. 算法描述

1. 根据边的权重，对边从小到大金星排序

2. 对排序的边进行遍历，检查每一条边的两个顶点，如果这两个顶点已经合并过了（属于同一个组），那么我们就排除这条边（否则最小生成树中会形成环），否则我们就将这条边添加到最小生成树中，并将两对应顶点所在的组合合并成一个组。

3. 当所有的边都被处理过，或者所有的顶点都已经被合并到一个大组，那么算法结束。

2.图形描述

（1）所有的边根据权重排序，根据权重大小依次处理每一条边。

（2）处理边I to J

(3)处理 A to E,CtoI

(4) E to F ,GH,DB,

(5) c to j由于 C和j已经在一个组里，抛弃C,J

如何知道，cj再一个组呢？可以用并查集的find操作

（6）多次合并后，所有元素已经都在一个组里，放弃剩下的边。

 

本文，参考了波波老师，数据结构视频中并查集的部分。