一家自动驾驶AI公司

编程入门行业动态更新时间:2024-10-19 21:38:19

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一家自动驾驶AI公司

[推理题 1 ]猫鼠问题.
有一只猫在半径为r的圆周上以速度为v移动，猫只能在圆周上移动，但可以自由改变方向。圆心位置有一只老鼠。老鼠可以在圆内自由移动，但速度仅为 v/4。老鼠按照什么样的策略/路线可以逃逸圆周而不被捕获。

Ans:

先看最直接的一种情况：

首先如果老鼠背对着猫直接向半径方向冲出圆周我们计算一下它们分别使用的时间。

定义：移动的距离, 此处 θ \theta θ是弧度制 l = θ ∗ r l = \theta * r l=θ∗r
移动的时间: t = l v t = \frac{l}{v} t=vl

t c = l c v c = π r v , t m = l m v m = r 1 / 4 v t_c = \frac{l_c}{v_c} = \frac{\pi r}{v}, t_m = \frac{l_m}{v_m} = \frac{r}{1/4v} tc=vclc=vπr,tm=vmlm=1/4vr

可以得到 t c = π r v , t m = 4 r v ; t_c = \frac{\pi r}{v}, t_m = \frac{4r}{v}; tc=vπr,tm=v4r;
那么： t c < t m t_c<t_m tc<tm

所以，直接冲，老鼠肯定死翘翘，猫呢，饱餐一顿，美滋滋。

但老鼠逃脱了。

第二种情况，但是如果是《猫和老鼠》里面的Tom 和 Jerry， Jerry就没那么笨了。
在危险的边缘试探之后，Jerry发现跑不过Tom，所以它赶紧返回中心休息片刻；

努力思考发现：我可以采用迂回战术，因为Tom在外圈，那么我在内圈，我得思考什么时候比它转的快？那么我得知道什么时候我们转的一样快。

一样快意味着: t c = t m ⟹ l c v c = l m c m ( 1 ) t_c = t_m \Longrightarrow \frac{l_c}{v_c} = \frac{l_m}{c_m}(1) tc=tm⟹vclc=cmlm(1)
⟹ θ r c v c = θ r m v m ; ( 2 ) \Longrightarrow \frac{\theta r_c}{v_c} = \frac{\theta r_m}{v_m}; (2) ⟹vcθrc=vmθrm;(2)
θ c = θ m , v c = 4 v m ; ( 3 ) \theta_c = \theta_m, v_c = 4 v_m; (3) θc=θm,vc=4vm;(3)
联立（1）（2）（3）可以得到：
r c = 4 r m r_c = 4r_m rc=4rm
也就是说Jerry在距离圆心 1 4 r \frac{1}{4}r 41r处，例如C点，可以和Tom转向同步；并且抱持时刻背对着Tom，那么说明在 0 → 1 4 r 0 \rightarrow \frac{1}{4}r 0→41r过程中;
Jerry保持和Tom转向同步所用的时间是比Tom的少的，也就是比Tom 转的快，那么Jerry就可以用多出来的那点时间往 1 4 r \frac{1}{4}r 41r处C点跑；

为什么呢？
我们计算一下当Jerry跑到C点的时候，此刻Jerry就不能同时保持背对着Tom并且向前移动了，因为此时它们俩转向所用的时间是一样的；

但是Jerry距离圈外的距离只有 3 4 r \frac{3}{4}r 43r了，而Tom还有 π r \pi r πr;
我们计算一下此时谁用的时间长，就可以得出一场Jerry和Tom的生杀逃亡、斗智斗勇的结果啦。

定义：移动的距离, 此处 θ \theta θ是弧度制 l = θ ∗ r l = \theta * r l=θ∗r
移动的时间: t = l v t = \frac{l}{v} t=vl

t c = l c v c = π r v , t m = l m v m = 3 / 4 r 1 / 4 v t_c = \frac{l_c}{v_c} = \frac{\pi r}{v}, t_m = \frac{l_m}{v_m} = \frac{3/4r}{1/4v} tc=vclc=vπr,tm=vmlm=1/4v3/4r

可以得到 t c = π r v , t m = 3 r v ; t_c = \frac{\pi r}{v}, t_m = \frac{3r}{v}; tc=vπr,tm=v3r;
那么： t c > t m t_c>t_m tc>tm

所以，当Jerry迂回到C点，也就是 1 4 r \frac{1}{4}r 41r处，然后飞速奔跑，就可以逃脱Tom的追赶，岂不是美滋滋；

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