数学建模预热：在MATLAB中使用GUI界面演示α粒子散射实验

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数学建模预热：在MATLAB中使用GUI界面演示α粒子散射实验

数学建模预热：在MATLAB中使用GUI界面演示α粒子散射实验

前言

原子物理课上，老师对于卢瑟福原子模型以及库伦散射公式进行了推导，作为一个废物， 在走神半分钟后终究没能跟上老师的思路，导致整节课暴毙

临近数学建模，因为非计算机专业，MATLAB已经很久没有动用过了，故将之作为一个热身项目进行。程序本身很简单，主要是敲GUI界面的代码稍微花了点时间。时间关系，十分粗糙，仅供参考

背景

1909年，汉斯·盖革和恩斯特·马斯登在卢瑟福的指导下完成了α粒子散射实验，从而推翻了汤姆孙提出的“葡萄干布丁”模型

实验中，α粒子射线在轰击金箔后，大约有1/8000 的α粒子偏转角大于90°，甚至观察到偏转角等于150°的散射

而在葡萄干布丁模型下，引起1°左右的偏差的概率相当于投掷硬币1000次，每次都向上的概率

也由此，汤姆孙模型被推翻，开创了原子结构研究的先河

基于两种模型在上述情形下实验现象的巨大差异，尝试利用MATLAB对两种假说分别进行模拟演示

模型原理

汤姆孙模型认为，原子的电荷均匀分布在原子中，电子则镶嵌于其中，原子结构类似“葡萄干布丁”，国内则也称之为“枣糕模型”

而在实际的情形下，原子中的正电荷集中在原子核中，原子核的半径约为原子半径的四万分之一

在忽略自由电子影响的情况下——碰撞过程中电子质量远小于α粒子，两种模型对于α粒子的影响区别在于原子电荷分布的不同。根据高斯定律不难分别得出其电场分布。此处不再详述

不同的电荷分布情形，产生了两种不同的电场，导致α粒子轰击时的加速度不同，从而影响了其运动轨道

基本假设

基于上述讨论，我们可以着手进行编程。考虑到时间因素以及编程水平不足，做出了许多妥协

1.忽略电子带来的影响

2.假设金原子不动（这样毕竟容易处理加速度）

3.原子核体积忽略不计

程序思路

1.设定一个原子出来

金箔是不可能有的，为了演示效果，只放一个金原子挨打即可

因为原子太小，所以假设原子在原点处，半径为1，便于观察，顺便plot出来

前面提到设原子核为一个点，但是即使以原尺度来看也太小了，毕竟是微观世界。因此原子核半径为原子的五分之一，但只是看起来比较大，计算加速度时还是以点电荷来看待，不影响结果

2.设定一堆α粒子出来

令α粒子以5MeV的速度轰击原子，显然这个速度不方便观察（一闪而过），故此后将速度、加速度全部缩小1000倍，便于观察

设置一个数组alphaposition，两列分别存放各个粒子当前的横纵坐标

我选择是让粒子们在（-10，【-1,1】）这样的区间均匀分布，纵坐标的选定是因为原子也就这么大

3.开始轰击并将过程实时plot

作为一个连续的过程，计算机很难实现。于是习惯性地考虑将时间以0.01秒为步长离散化

虽然会导致穿模问题（回弹的粒子速度显然过快），不过不影响结果，凑合一下也能看

用一个for循环，通过各个粒子的位置，分别计算其加速度大小。加速度方向显然就是其位置与原点连线反向，用基本的高中物理知识，就可以利用位置得到加速度大小与方向，然后分别设定vx，vy，ax，ay，将加速度的改变量体现到速度中，然后修改位置

这样子，最关键的参量其实就是position

利用drawnow函数可以实现实时绘制，相关帖子很多，不再赘述

可以发现，这个函数过程实际非常的简单粗暴，整个流程花了约一个小时码好（毕竟基础奇烂）

4.加一点细节

其实个人最喜欢GUI，人菜瘾大那种喜欢。

首先设计一个基本的GUI界面，需求如下：

1.能选择对应模型

2.能改变粒子数量，毕竟大数粒子比较难观察，小数粒子没说服力

3.能显示粒子轨迹，毕竟原意是用来展示自己不会推的公式，回头可以拟合对比

4.能统计粒子散射角度，毕竟卢瑟福都硬是统计出来了，程序也应该帮忙算好

在经过一系列的操作之后，最终得到结果如下。其中，汤姆孙模型因为效果实在不显著，我把其电场强度扩大了一万倍。这样子反而有助于理解两周模型的本质区别

END

7号中午和晚上花了点时间完成了这个程序，从构思到完成前前后后大概五个小时左右吧，大多数时间在考虑GUI的功能和设计。整体来看是一个很简单的小小程序，基本起到了热身作用，10号建模，有望勇夺成功参赛奖🐒