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三十七、数学知识——容斥原理
容斥原理算法主要内容
- 一、基本思路
- 1、概念
- 2、推导与手写笔记
- 二、例题题解
一、基本思路
1、概念
- 简介:
-
- 在计数时,必须注意没有重复,没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法,这种方法的基本思想是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。
- 原理:
-
- 如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。(A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C)
- 公式:
2、推导与手写笔记
- 举例推导:
- 容斥原理分析:
二、例题题解
// java题解实现
import java.util.*;public class Main{static int N = 20;static int[] p = new int[N];public static void main(String[] args){Scanner in = new Scanner(System.in);int n = in.nextInt();int m = in.nextInt();for(int i = 0; i < m; i++){p[i] = in.nextInt();}long res = 0; // 代表可以整除的集合总数个数for(int i = 1; i < 1 << m; i++){ // 遍历过程一共 2^m - 1 项,1 << m代表的是2^m// 表示从 1——2^m - 1个数,也就是这么多种选法,每个数字代表了一种选择方法// 每一位代表了每一个质数是否参与了此次选择,1代表选择进行了组成long t = 1; // t 为 p1 p2 p3 ... 之间的乘积,为了后面进行 n/(p1*p2*...) 下取整做准备// 为了求解集合中p的倍数元素个数int count = 0; //表示这个数字中有多少个质数元素构成for(int j = 0; j < m; j++){ // 遍历的是每个数的位运算中的第m位(二进制位数)//我们这里的i是用二进制来表示每一项,二进制的有多少项1就表示这是多少质数项的交集if((i >> j & 1) == 1){count++;t = t * p[j];if(t > n){t = -1;break;}}}if(t != -1){ // 判断 n 中可以有 t 的倍数的个数if(count % 2 == 0){res = res - (long)n/t; }else{res = res + (long)n/t;}}}System.out.println(res);}
}
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