witness encryption 学习

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参考文献：Garg S, Gentry C, Sahai A, et al. Witness encryption and its  applications[C] //Proceedings of the forty-fifth annual ACM symposium on Theory of computing. 2013: 467-476.

前面到两节来自上面的lec18，第三节来自论文。 可以大致了解证据加密的怎么构造。

1.一个小故事

想象一下，一个热爱数学的亿万富翁，想要奖励将证明黎曼假设的数学家100万美元。当然，这位亿万富翁不知道黎曼假设是否正确，也不知道数学家提出证明时他是否还活着。为了克服这两个问题，这位亿万富翁决定:

1. 将100万美元的黄金放进一个大宝箱里。
2. 选择世界上任意一个地方，挖一个洞，藏起宝箱。
3. 加密消息中宝箱的坐标，只有证明黎曼假设的数学家才能解密它。
4. 在世界上所有的报纸上公开坐标的密文。

这次讲座的目的是帮助这位亿万富翁完成第三步。为了做到这一点，为了简单起见，我们将假设证明最多为10000页。后一个假设意味着语言L = {x | x是一个可接受的黎曼假设证明}属于NP。为了简化我们提出一个电路C，它的输入是x，如果x是黎曼假设的证明，则输出1；否则输出0。

我们现在的目标是设计两台PPT机器(Enc, Dec)使得：

1. Enc(C,m)输入为电路C和m∈{0,1}作为输入，并输出密文e∈{0,1}*。

2. Dec(C, e, w)输入为电路C，密文e和证据w∈{0,1}∗，如果C(w) = 1，则输出m；否则输出⊥。

并且满足以下正确性和安全性要求:

• 正确性：如果∃w使C(w) = 1，则Dec(C, e, w)输出m。
• 安全性：如果不存在w使得C(w) = 1，则Enc(C, 0)≈ Enc(C, 1)(其中，≈表示“在计算上无法区分”)

2.一个简单的语言

 作为第一个示例，我们将展示如何为一种简单的语言设计这样的加密方案。设G是素数阶的群，g是群的生成元。对于元素A,B, T∈G，考虑语言。

具有第1节正确性和安全性要求的该语言的加密方案如下:

正确性：上述加密方案的正确性在于，如果存在(a, b)∈L，则:

由于m∈{0,1}且已知g, 的值即为m的值。

安全性：就方案的安全性而言，由于语言L非常简单，我们实际上可以证明消息m是信息论隐藏的。假设(a, b)∈L不存在，但敌手有能力计算除离散对数。在这种情况下，给定两个密文c1和c2，敌手可以得到这样一个系统:

，其中s1和s2分别是c1和c2的离散对数(以g为底)，是中的一个元素，使得。m的每一个值都存在r1和r2，使得上面的系统都有一个解，因此m确实是信息论隐藏的。(另一方面，如果我们有ab = r，那么方程是线性相关的)。

3.一种NP完全语言

         在这一节中，我们将关注我们最初的目标，即为NP完全语言设计一种加密。具体来说，我们考虑NPC问题-精确覆盖（exact cover）。

3.1 精确覆盖NPC问题

上面第2条件应该是等于空集，选出的所有子集两两互斥。

 3.2 多线性映射

3.3 Decision Multilinear No-Exact-Cover问题和假设

3.4加密方案