程序员数学(24)–圆

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本文目录

• 1. 概念
• 2. 圆的性质
• 3. 垂径定理
• 4. 圆心角
• 5. 圆周角
• 6. 内接多边形与外接圆
• 7. 点和圆的位置关系
• 8. 直线和圆的关系
• 9. 内切圆与内心
• 10. 弧长
• 11. 扇形面积

1. 概念

如下图，在一个平面内，线段OA绕一个点O旋转一周，另一个端点A经过轨迹所形成的的图形叫做园，固定端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

连接圆上任意两点的线段叫做弦，如AB。
经过圆心的弦叫做直径，如BC。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如弧AB。
圆上任意直径的两个端点把园分为两条弧，此时每条弧成为半圆。
能够重合的两个圆，成为等圆。半径相等的圆即为等圆。
在同一个圆或等圆中，能够互相重合的弧称作等弧。

2. 圆的性质

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。

可见圆是多么美妙完美的图形，所以古希腊数学家毕达哥拉斯说：立体图形中最美是球，平面图形中最美是圆。

3. 垂径定理

垂直于弦的直径平分弦，并平分弦所对的两条弧。可利用全等证明。
同时，可推出：平分非直径弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

4. 圆心角

如下图，顶点在圆心的角成为圆心角，如∠AOB、∠AOC：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、弦相等。

5. 圆周角

如上图，顶点在圆上，两边都与圆相交的角成为圆周角，如∠OAB。

同弧或等弧所对的圆周角相等，半圆所对的圆周角为直角，直角圆周角所对的弦是直径。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

6. 内接多边形与外接圆

如下图，多边形的顶点都在一个圆上，所以多边形叫做圆内接多边形，圆叫做多边形的外接圆。

圆内接四边形的对角互补。

7. 点和圆的位置关系

如图：
点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外

不在同一直线的三个点确定一个圆，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。

8. 直线和圆的关系

如下图，直线AB和圆O有2个公共点，AB与圆O相交，AB为圆的割线。
直线GC与圆O有1个公共点D，GC与圆相切，GC为圆的切线，D为切点。
直线EF与圆O没有公共点，EF与圆相离。

经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线，圆的切线垂直于过切点的半径。

9. 内切圆与内心

如下图，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。

10. 弧长

周长：
C = 2 π R C=2\mathrm\pi R C=2πR
圆心角n°，所对弧长为：
l = n π R 180 l=\frac{n\mathrm\pi R}{180} l=180nπR​

11. 扇形面积

圆的面积：
S = π R 2 S=\mathrm{πR}^2 S=πR2

所以圆心角为n°的扇形面积为:
S = π R 2 360 S=\frac{\mathrm{πR}^2}{360} S=360πR2​