非惯性系下导数问题（机器人学）

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非惯性系下导数问题（机器人学）

非惯性系下导数问题

   我们知道，在惯性系下，速度 v v v为位移 r r r的导数，加速度 a a a为速度 v v v。那么在非惯性系下是否也成立呢？当然，非惯性系下可没有这么简单，接下来我们就来一步一步推导一下。

推导

   假设有一个惯性系0， O − X Y Z {O-XYZ} O−XYZ和一个非惯性系1， O 1 − X 1 Y 1 Z 1 {O_1-X_1Y_1Z_1} O1​−X1​Y1​Z1​。假设坐标系1相对于坐标系0的旋转矩阵为 R ( θ ) R(\theta) R(θ)(简单起见，仅考虑绕着z轴转动)，假设点P的绝对位移 r r r（相对于惯性系）在惯性系0下的表示为 r 0 0 r^0_0 r00​，在非惯性系1下的表示为 r 0 1 r^1_0 r01​，显然我们有：

r 0 0 = R ( θ ) r 0 1 (1) r^0_0 =R(\theta) r^1_0 \tag{1} r00​=R(θ)r01​(1)

   对式1两边求导，可以得到

v 0 0 = r ˙ 0 0 = R ˙ ( θ ) r 0 1 + R ( θ ) r ˙ 0 1 (2) v^0_0 = \dot r^0_0 =\dot R(\theta) r^1_0 + R(\theta) \dot r^1_0 \tag{2} v00​=r˙00​=R˙(θ)r01​+R(θ)r˙01​(2)

   v 0 0 v^0_0 v00​表示P相对于惯性系的速度在惯性系下的表示，由旋转矩阵可得：

v 0 0 = R ( θ ) v 0 1 (3) v^0_0 =R(\theta) v^1_0 \tag{3} v00​=R(θ)v01​(3)

   v 0 1 v^1_0 v01​表示P相对于惯性系的速度在非惯性系下的表示，带入式2可得到：

R ( θ ) v 0 1 = R ˙ ( θ ) r 0 1 + R ( θ ) r ˙ 0 1 (4) R(\theta) v^1_0 =\dot R(\theta) r^1_0 + R(\theta) \dot r^1_0 \tag{4} R(θ)v01​=R˙(θ)r01​+R(θ)r˙01​(4)

   两边同乘 R ( θ ) − 1 = R ( θ ) R(\theta)^{-1}=R(\theta) R(θ)−1=R(θ):

v 0 1 = R ( θ ) − 1 R ˙ ( θ ) r 0 1 + r ˙ 0 1 (5) v^1_0 = R(\theta)^{-1}\dot R(\theta) r^1_0 + \dot r^1_0 \tag{5} v01​=R(θ)−1R˙(θ)r01​+r˙01​(5)

   根据旋转矩阵和反对称矩阵:

R ˙ = d R d t = S ( ω 0 ( t ) ) R (6) \dot{R}=\frac{dR}{dt}=S(\omega^0(t))R\tag{6} R˙=dtdR​=S(ω0(t))R(6)

R S ( a ) R T = S ( R a ) (7) RS(a)R^T=S(Ra)\tag{7} RS(a)RT=S(Ra)(7)

R ( θ ) − 1 = R ( θ ) T (8) R(\theta)^{-1}=R(\theta)^{T} \tag{8} R(θ)−1=R(θ)T(8)

   公式5可以进一步得到：

v 0 1 = R ( θ ) − 1 S ( ω 0 ( t ) ) R r 0 1 + r ˙ 0 1 = S ( R ( θ ) − 1 ω 0 ( t ) ) r 0 1 + r ˙ 0 1 = S ( ω 1 ( t ) ) r 0 1 + r ˙ 0 1 = r ˙ 0 1 + ω 1 ( t ) × r 0 1 (9) v^1_0 = R(\theta)^{-1}S(\omega^0(t))Rr^1_0 + \dot r^1_0 =S(R(\theta)^{-1}\omega^0(t))r^1_0 + \dot r^1_0 \\ = S(\omega^1(t))r^1_0 + \dot r^1_0 = \dot r^1_0 + \omega^1(t)\ \times \ r^1_0 \tag{9} v01​=R(θ)−1S(ω0(t))Rr01​+r˙01​=S(R(θ)−1ω0(t))r01​+r˙01​=S(ω1(t))r01​+r˙01​=r˙01​+ω1(t) × r01​(9)

   这就得到了我们所要的公式：
v 0 1 = r ˙ 0 1 + ω 1 ( t ) × r 0 1 (10) v^1_0 = \dot r^1_0 + \omega^1(t)\ \times \ r^1_0 \tag{10} v01​=r˙01​+ω1(t) × r01​(10)

   具体解释一下该公式的含义：绝对速度（相对于惯性系）在非惯性系的表示并不会直接等于绝对位置（相对于惯性系）在非惯性系的表示的导数，还需要加上 ω 1 ( t ) × r 0 1 \omega^1(t)\ \times \ r^1_0 ω1(t) × r01​，其中 ω 1 ( t ) \omega^1(t) ω1(t)表示坐标系1相对于坐标系0的旋转角速度在非惯性系下的表示， × \times ×表示叉乘。
   对于加速度的推导（对于任意矢量），都有这个规律~