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振动力学学习笔记: 绪论(二) 振动力学的基本问题与基本方法
前情提要
绪论(一) 振动力学的基本概念
目 录
- 振动力学的三类基本问题
- 振动系统的简化与力学模型
- 按照系统特性参数的连续性分类
- 按照系统特性参数的关系分类
- 按照激励特性分类
- 振动系统的离散化处理方法
- 集中质量法 (lumped mass method)
- 广义坐标法 (generalized coordinate method)
- 有限单元法 (finite element method)
- 振动力学的研究方法
- 理论分析
- 振动试验
- 振动理论的工程应用
- 参考文献
振动力学的三类基本问题
振动系统的三要素 输入、输出、系统特性
理论上,已知其中任意两者,应该可以推测出第三者的情况。由此形成振动力学的 三类基本问题
① 振动分析 —— 正问题
- 已知激励和系统特性,确定系统的响应
- 解析法、数值法 (商用软件)
② 系统识别 (system identification) —— 第一类逆问题
- 已知激励和响应,确定系统的特性参数
- 系统设计 (设计符合要求的系统)、参数识别 (从测试数据中确定出系统的频率、阻尼、振型等参数)
- 识别理论和技术已日趋成熟
③ 振源识别 (excitation identification) —— 第二类逆问题
- 已知系统特性和响应,求激励
- 振动环境预测 (vibration environment prediction) 在周边环境的被动激励下寻找振源
- 实际振动问题问题错综复杂,引起振动的激励多种多样、互相耦合,一般比较困难,仍处发展之中
振动系统的简化与力学模型
力学模型 (mechanics model) 根据问题的实际情况和研究的需要,抓住系统中的主要影响因素,忽略或简化次要因素,把复杂的系统加以抽象和简化,由此建立的能够反映振动参数本质关系的物理系统
按照系统特性参数的连续性分类
离散型系统 (discrete system) = 集中参数系统 (lumped parameter system)
- 用全微分方程表述
- 基本元件 质量块、弹簧、阻尼器
- 基本参数 质量、弹簧刚度、阻尼系数
连续型系统 (continuous system)
- 用偏微分方程表述
- 基本元件:弹性元件 弦、杆、轴、梁、膜、板、壳
- 接近系统原态,但运算分析比较复杂
按照系统特性参数的关系分类
任何系统本质上都是非线性的,只是非线性的影响程度不同
线性振动系统
- 理论成熟、分析方法简便可靠,优先选用
非线性振动系统
- 非线性因素较强或影响无法估计时选用,有限元方法可分析
按照激励特性分类
确定性系统
- 系统受到的激励是确定的,可以用函数描述
随机系统
- 系统受到的激励是随机的,无法用函数描述,但具有统计学规律
- 比如建筑结构受到阵风或地震的作用、路面引起行驶车辆的颠簸、船只受到海浪的拍击、飞行器受到大气湍流的激励
- 分析方法 建立随机振动模型,使用随机振动理论分析
振动系统的离散化处理方法
- 振动系统的动力自由度 (dynamic degrees of freedom) 确定系统全部质量在任意时刻位置所需要的独立几何参数数目
- 实际系统的动力自由度为无穷多个
- 处理方法 把连续的系统离散化,根据系统复杂程度和研究需要,建立有限自由度系统
- 自由度越多分析精度越高,计算难度越大。合理选择。
集中质量法 (lumped mass method)
- 将连续结构的分布质量按照一定规则集中并简化到适当位置上,形成一系列离散的质点系统,质点之间由无质量的弹簧和阻尼器连接,从而将无限自由度系统简化为有限自由度系统的质量-阻尼-弹簧模型
- 合理性评估方法: 动能等价原理 离散后质量的总动能与离散前相等或接近,才能保证离散模型的合理性
广义坐标法 (generalized coordinate method)
- 广义坐标 描述系统位形所需要的独立参数 (=自由度数),包括但不限于某个点的具体坐标值
- 振动力学中的广义坐标法 将质量连续分布的振动位移表达成满足位移边界条件的 位移函数 (shape function) 的线性组合,此时广义坐标就是这些线性组合的系数
- 举个栗子 梁具有 n n n 个动力自由度的位移函数 y ( x , t ) = ∑ a i ( t ) φ ( x ) (1) y(x,t)=\sum{a_i(t)\varphi(x)}\tag{1} y(x,t)=∑ai(t)φ(x)(1)其中 a i ( t ) a_i(t) ai(t) 为广义坐标
- 栗子别放再举一会儿 简支梁的竖向振型可假设为正弦曲线
一阶振型 y = a 1 ( t ) s i n ( π x / l ) (2) y=a_1(t)sin(\pi x/l)\tag{2} y=a1(t)sin(πx/l)(2)二阶振型 y = a 2 ( t ) s i n ( 2 π x / l ) (3) y=a_2(t)sin(2\pi x/l)\tag{3} y=a2(t)sin(2πx/l)(3) 三阶振型 y = a 3 ( t ) s i n ( 3 π x / l ) (4) y=a_3(t)sin(3\pi x/l)\tag{4} y=a3(t)sin(3πx/l)(4)
单自由度振动系统 有1个广义坐标 a 1 ( t ) a_1(t) a1(t) y ( t ) = a 1 ( t ) s i n ( π x / l ) (5) y(t)=a_1(t)sin(\pi x/l)\tag{5} y(t)=a1(t)sin(πx/l)(5)双自由度振动系统 有2个广义坐标 a 1 ( t ) a_1(t) a1(t)、 a 2 ( t ) a_2(t) a2(t) y ( t ) = a 1 ( t ) s i n ( π x / l ) + a 2 ( t ) s i n ( 2 π x / l ) (6) y(t)=a_1(t)sin(\pi x/l)+a_2(t)sin(2\pi x/l)\tag{6} y(t)=a1(t)sin(πx/l)+a2(t)sin(2πx/l)(6)三自由度振动系统 有3个广义坐标 a 1 ( t ) a_1(t) a1(t)、 a 2 ( t ) a_2(t) a2(t)、 a 3 ( t ) a_3(t) a3(t) y ( t ) = a 1 ( t ) s i n ( π x / l ) + a 2 ( t ) s i n ( 2 π x / l ) + a 3 ( t ) s i n ( 3 π x / l ) (7) y(t)=a_1(t)sin(\pi x/l)+a_2(t)sin(2\pi x/l)+a_3(t)sin(3\pi x/l)\tag{7} y(t)=a1(t)sin(πx/l)+a2(t)sin(2πx/l)+a3(t)sin(3πx/l)(7)
有限单元法 (finite element method)
- 把振动结构人为分割为有限个单元
- 将连续分布的刚度、质量、载荷、阻尼集中于单元节点处
- 广义坐标 节点位移
- 形状函数 根据单元类型确定
- 优势 每一节点位移仅影响相邻单元,结构向量方程耦合程度小,计算方便
- 误差原因 静力状况的形状函数和振型函数存在偏差;形状函数难以反应高阶振型——高频反应失真
振动力学的研究方法
理论分析
根本任务 从理论上揭示系统振动的基本规律和特性
定性研究
- 方程解的存在性、唯一性、周期性、稳定性
- 振动系统的简化
- 振动力学建模理论
定量研究
- 微分方程的解,包括解的方法、解的具体形式、解的规模数量等
- 精确解 = 解析解 自由度数越高、非线性度越高、激励的不确定性越高,难度越大,有些问题不可能获得解析解
- 近似解 可按需采用各种简化方法,常用的包括忽略高次项的傅里叶分解,以及数值分析法 (数字计算机仿真)
振动试验
对理论研究的补充和验证
振动测试
-
振动响应 测试已有系统在给定激励下的响应,以确定振动的强弱和规律
对于周期振动,关注位移、速度、加速度或应变的幅值和振动周期
对于瞬态振动 / 冲击,关注位移或加速度的最大峰值和响应持续时间
对于平稳随机振动,关注力和响应的时间历程均值和方差
对于非平稳随机振动,把时间划分为多个小段,关注各小段内力和响应的时间历程的均值和方差,找出它们和时间的关系 -
系统特性 在系统特性未知或不明确的情况下,根据激励和响应的测试结果进行动态特性参量识别
模态参量识别方法 时域法——直接识别、频域法——FFT (快速傅里叶变换) 后再识别 -
振动激励测试 以确定未知激励 (振源性质、传播途径、振源施加在系统上的载荷谱) 为目的
模型试验
- 难以进行现场试验时,按照振动对象原型制作试验用模型,通过模拟实际振动载荷进行激振
- 相似理论 模型与原型尺寸上几何相似、结构上材料相似、激振上成比例
振动理论的工程应用
振动分析与工程设计
- 传统工程设计思路 先从静态设计入手,再进行动特性的验算或测试,不符合要求再进行调整
- 现代工程设计思路 在设计全过程中全面考虑静态和动态特性 (动强度、动刚度、动稳定性)
振动抑制与振动控制
- 被动振动控制 使用惯性、弹性、阻尼元件,不需要外界施加能量
(成本低;效果有限,控制频率范围固定,宽度不大) - 主动振动控制 使用传感器、控制器、作动器等硬件,以及数据处理和结构分析等软件,需要外界施加能量
(效果显著,系统频率范围和控制效果可人为调整;过程复杂,成本高) - 半主动振动控制 通过改变控制装置的属性 (主动变刚度、主动变阻尼) 取得最优控制效果,不需要外界施加能量
- 混合振动控制 结合使用以上三种
振动利用 (vibration utilization)
- 土木领域 振动拔桩沉桩、振动挖掘、振动夯土、振动混料、振动密实、振动拆除、振动疏通
- 机械领域 振动输送、振动筛选、振动干燥、振动成型、振动破碎、振动清理、振动时效
- 振动波的利用 海浪波动能量发电、超声切削、超声医疗、超声电机
参考文献
[1] 鲍文博,白泉,陆海燕.振动力学基础与MATLAB应用[M].北京:清华大学出版社,2015:8~15.
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