相机模型关系推导

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相机模型关系推导

针对针孔相机模型在工业检测中应用所会遇到的情况进行总结。镜头畸变的原理，内参外参的标定，各个坐标系之间的转换关系。

一 针孔相机

针孔相机来源于初中物理肯本上的经典实验，小孔成像。所以在分析的时候利用相似三角形进行分析，经典的针孔相机几何模型如图所示。

 由图一可知

在实际使用过程中，会通过归一化来方便计算，归一化就是让成像平面距离远点O的距离为单位1的坐标。

二 相机标定

由于相机在生产和使用过程中的误差，不可避免的会导致误差，通常是桶形畸变或者枕形畸变会导致画面并非平面，而会在边缘处略微弯曲；如果在组装过程中，镜片和成像平面无法平行，则会引起切向畸变，导致整个平面倾斜。使用标定的方式去弥补这部分误差。

畸变矫正一般都是先校正，再讨论空间坐标。

张正友标定法详解

三 坐标系转换

 这是绕Z轴做旋转时所得到到旋转矩阵R1，绕X轴Y轴时会有R2,R3的矩阵。旋转矩阵加上平移向量，则可完成两个坐标之间的转换。

由世界坐标系到像素坐标系的关系如下图所示

 四 三维坐标系转换

在三维空间中直接进行坐标转换，当知道具体旋转角度时可以直接代入公式中计算出旋转矩阵。当知道两个坐标系对应点时，可以采用罗德里格矩阵模型求出旋转矩阵，直接求解会导致误差过大，使用非线性优化的方式减少误差。或使用SVD手眼标定。

相关资料：

基于罗德里格矩阵的空间坐标转换 韩梦泽

三维坐标转换精度及其影响因素的研究 张皓琳

相机标定(三)——手眼标定_white_Learner的博客-CSDN博客

OpenCV手眼标定（calibrateHandeye()）_hellohake的博客-CSDN博客

三维坐标系之间转换方法 - 知乎

import numpy as np# 代码表明，使用罗德里格求出旋转矩阵误差为0.001
def caculate_cross_matrix(old_coordinate, R):a = R*old_coordinatereturn adef caculate_Rodrigues(old_point, new_point):o1 = old_point[:, 0]o2 = old_point[:, 1]o3 = old_point[:, 2]x1, y1, z1 = float(o1[0]), float(o1[1]), float(o1[2])x2, y2, z2 = float(o2[0]), float(o2[1]), float(o2[2])x3, y3, z3 = float(o3[0]), float(o3[1]), float(o3[2])n1 = new_point[:, 0]n2 = new_point[:, 1]n3 = new_point[:, 2]u1, v1, w1 = float(n1[0]), float(n1[1]), float(n1[2])u2, v2, w2 = float(n2[0]), float(n2[1]), float(n2[2])u3, v3, w3 = float(n3[0]), float(n3[1]), float(n3[2])u21 = u2-u1v21 = v2-v1w21 = w2-w1x21 = x2-x1y21 = y2-y1z21 = z2-z1u31 = u3-u1v31 = v3-v1w31 = w3-w1x31 = x3-x1y31 = y3-y1z31 = z3-z1L = np.matrix([[u21-x21],[v21-y21],[w21-z21],[u31-x31],[v31-y31],[w31-z31]])A = np.matrix([[0, -z21-w21, -y21-v21],[-z21-w21, 0, x21+u21],[y21+v21, x21+u21, 0],[0, -z31-w31, -y31-v31],[-z31-w31, 0, x31+u31],[y31+v31, x31+u31, 0]])# 直接求解很难# a = np.linalg.solve(B, L)# 最小二乘法间接求X = np.linalg.inv(((A.T)*A))*(A.T)*La, b, c = float(X[0]), float(X[1]), float(X[2])tmp = 1/(1+a*a+b*b+c*c)R = tmp * np.matrix([[1+a**2-b**2-c**2, -2*c-2*a*b, -2*b+2*a*c],[2*(c-a*b), 1-a*2+b*2-c*2, -2*a-2*c*b],[2*(b+a*c), 2*(a-b*c), 1-a**2-b**2+c**2]])return R# 旋转角度依次为 20,40,60
R3 = np.matrix([[0.2795, -0.9237, -0.2620],[0.6634, 0.3830, -0.6428],[0.6941, 0.0058, 0.7198]])# 原坐标系坐标
old_coordinate = np.matrix([[5, 10, 20],[8, 10, 30],[15, 10, 40]])# 文章给的另一组坐标
new_coordinate_paper = np.matrix([[-9.9225, -3.2606, 14.3147],[-9.0627, 4.0365, 14.1977],[-32.6027, -0.9526, 42.8504]])
new_coordinate_paper = new_coordinate_paper.T# 通过旋转矩阵计算得到心坐标系坐标
new_coordinate = caculate_cross_matrix(old_coordinate, R3)
R = caculate_Rodrigues(old_coordinate, new_coordinate_paper)print("知道角度后的旋转矩阵\n",R3)
print("通过罗德里格矩阵求得旋转矩阵\n",R)