欧拉回路

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欧拉回路

欧拉回路

定义

无向连通图G=(V,E)中的一条经过所有的边的简单回路(道路)称为G的欧拉回路(道路)。

具有欧拉回路的图称为欧拉图（简称E图）。具有欧拉通路但不具有欧拉回路的图称为半欧拉图。

定理

欧拉回路的判断较为简单，具体判断方法如下：

无向连通图G存在欧拉回路的充要条件：

G为连通图且G中各结点的度都是偶数，特别地，当G仅有两个奇度结点(度数为奇数的结点)时，G存在欧拉道路。

一些推论：

• 当G是仅有两个奇度结点的连通图时，G的欧拉通路必以此两个结点为端点
• 当G是无奇度结点的连通图时，G必有欧拉回路。

有向图D中存在欧拉回路的充要条件：

D为有向图，D的基图连通，并且所有顶点的出度与入度都相等，特别地若除两个顶点外，其余顶点的出度与入度都相等，而这两个顶点中一个顶点的出度与入度之差为1，另一个顶点的出度与入度之差为-1，则图D中存在欧拉道路

一些推论：

• 当D除出、入度之差为1，-1的两个顶点之外，其余顶点的出度与入度都相等时，D的有向欧拉通路必以出、入度之差为1的顶点作为始点，以出、入度之差为-1的顶点作为终点。
• 当D的所有顶点的出、入度都相等时，D中存在有向欧拉回路。

判断

根据定理和推论，我们可以很好的找到欧拉通路回路的判断方法，这里就给出简明的判断方法：

A.判断欧拉通路是否存在的方法

有向图：图连通，有一个结点出度比入度大1，有一个结点入度比出度大1，其余都是出度=入度。

无向图：图连通，只有两个顶点是奇数度，其余都是偶数度的。

B.判断欧拉回路是否存在的方法

有向图：图连通，所有的顶点出度=入度。

无向图：图连通，所有顶点都是偶数度。

欧拉回路的求解

fleury算法

设G为一无向欧拉图，求G中的一条欧拉回路的算法为：
1）任取G中的一个顶点v₀，令P₀=v₀；
2）假设沿P_i=v₀e₁v₁e₂…e_iv_i走到顶点v_i，按下面的方法从E(G)-{e₁,e₂,…,e_i}中选e_i+1：
a）e_i+1与v_i相关联；
b）除非无别的边可供选择，否则e_i+1不应该是G_i=G-{e₁,e₂,…,e_i}中的桥。
3）当2）不能再进行时算法停止。
可以证明的是，当算法停止时，所得到的简单回路P_m=v₀e₁v₁e₂…e_mv₀为G中的一条欧拉回路。
桥：
设无向图G(V,E)为连通图，若边集E₁⊆E，在图G中删除E₁中所有边后得到的子图是不连通的，而删除了E₁的任一真子集后得到的子图是连通图，则称E₁是G的一个割边集。若一条边构成一个割边集，则称该边为割边，或桥

例题

积木/连接问题
题目描述

一天，小明买了许多积木回家，他想把这些积木拼接在一起。每块积木有两个接口，每个接口用一个数字标记，规定只有当两块积木有相同数字标记的接口时，这两块积木才可以通过该接口拼接在一起。例如，有两块积木，接口数字分别为1，2和3，4，那么这两块积木无法拼接；若两块积木接口数字分别为1，2和2，3，那么这两块积木可以通过由数字2标记的接口拼接在一起。现在小明知道所有积木的数量和每块积木接口的数字标记，你能告诉他他可以将所有积木拼接成一个整体么？

输入格式
第一行，一个正整数 n，代表积木数量。
接下来 n 行，每行两个正整数 ai, bi，代表第 i 个积木两端开口的数值。
输出结果
输出 n 个整数表示可以所有积木可以连接在一起的方案，其中第 i 个整数表示排列在第 i 位的积木编号。(注可能有多种方案，只输出一个即可
分析
看到此题目，很自然的想法是将每一个积木视为一个节点，如果两个积木之间接口可以连接的话，可以视为这两个积木之间存在着一条路径，但是，这样抽象之后，题中所要求在构建的图中就应该是可以遍历所有节点的一条道路，但是在不断连接的过程中，会出现许多麻烦，比如，(2 5),(4 2),(5 3),(4 4),(4 4)这五个积木，括号内为对应接口数值，显然因为积木(4 4)有两个，对它的处理就比较困难，所以这种建模仍旧很难求。
仍旧是这组数据：(2 5),(4 2),(5 3),(4 4),(4 4)这五个积木，括号内为对应接口数值，显然五个积木可以拼接到一块儿，拼接方式为：
(3 5)(5 2)(2 4)(4 4)(4 4)
上面我们将各个积木视为节点，能够连接视为存在一条边，但是并不有效，那么不妨换个思路，将各个积木视为边，这么一来，积木两边接口之间的数字才是节点，顺着这个思路下去，只要这个存在接口值为(a b)的积木，a,b两个节点就存在一条边，这样一来，题中所求的就是可以遍历图中所有边的一条欧拉路径，而且一个积木用过后只需对此边进行标记后。

之后按照fleury算法即可求出其中的一条欧拉道路，相应的c++实现如下：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n, ma = 0, mi = 1000;
int a[150][150], du[150], sta[1500];//a存贮图的邻接矩阵，du存储每个节点的度，sta存储最后的顺序
int top = 0;
struct node{int anum,bnum;bool visited;
}edge[1500];void dfs(int x)//dfs寻找一欧拉道路
{for (int i = mi; i <= ma; i++)if (a[i][x]){a[i][x]--;a[x][i]--;dfs(i);}sta[++top] = x;
}
int main()
{int x, y;cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++){cin >> x >> y;du[x]++;du[y]++;//统计每个节点的出现次数a[x][y]++;a[y][x]++;//构建邻接矩阵来存储图edge[i].anum = max(x, y);edge[i].bnum = min(x, y);edge[i].visited = false;ma = max(ma, max(x, y));mi = min(mi, min(x, y));}int startnode = 0;for (int i = mi; i <= ma; i++)if (du[i] & 1)//寻找度为奇数的点，根据定理，这个一定是欧拉道路的起点{startnode = i;break;}if (!startnode)//st为假，找不到奇数度的点，则任取一个点求图的欧拉回路{for (int i = mi; i <= ma; i++){dfs(i);if (sta[1] == sta[top]) break;}}else//st为真，求欧拉道路{dfs(startnode);}//求出图的一条欧拉路径后，转化成边的形式输出for (int i = n; i > 0; i--){node path;path.anum = max(sta[i], sta[i + 1]);path.bnum = min(sta[i], sta[i + 1]);for (int j = 1; j <= n; j++){if ((!edge[j].visited)&&(path.anum==edge[j].anum)&&(path.bnum==edge[j].bnum)){cout << j << ' ';edge[j].visited = true;break;}}}//system("pause");return 0;
}