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CodeForces 1737 E
思路
我们先将题目看成 n n n 个点的问题。
首先我们知道,如果一个点初始方向是向右,那么他无论如何都不可能活到最后。
所以我们只需要考虑向左的情况。
我们可以求出它初始方向向左时活到最后的方案数,然后除于所有的方案,就是我们要求的概率了,接下来我们考虑如何求出活到最后的方案数。
我们可以将整个过程分为两部分,首先向左走到底,此时右边的无论如何变化都不会影响到当前左边的部分,然后再转向向右。
设当前点为 i i i,对于左边的部分,如果有一个点的编号大于 ⌊ i 2 ⌋ \lfloor\frac{i}{2}\rfloor ⌊2i⌋ 并且它的初始方向向右,则当前节点一定会被这个节点吃掉。
所以编号大于 ⌊ i 2 ⌋ \lfloor\frac{i}{2}\rfloor ⌊2i⌋ 的点的初始方向都要向右,所以左边一共有 2 ⌊ i 2 ⌋ 2^{\lfloor\frac{i}{2}\rfloor} 2⌊2i⌋ 种方案。
再考虑右边的部分,我们设当前的方案数为 f i f_i fi(不考虑左边的部分),则如果对于所有小于 2 ⋅ i 2\cdot i 2⋅i 的点的方向全部向右,则说明当前节点一定会被吃掉(如果最后一个点向右,那么在吞掉别人之前一定会碰到墙回头,所以可以看成向左),为了防止当前节点被吃掉,则无论如何在小于 2 ⋅ i 2\cdot i 2⋅i 的节点中有向左的,我们便可以写出关于 f i f_i fi 的式子:
f i = ∑ j = i + 1 2 ⋅ i f j f_i = \sum_{j=i+1}^{2\cdot i} f_j fi=j=i+1∑2⋅ifj
可以用前缀和优化到 O ( n ) O(n) O(n) 的时间复杂度。
然后将左边和右边的方案数乘起来,在除于所有的方案数,就是答案了。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL MOD = 1e9 + 7;
int T, n;
LL f[3000005], g[3000005];
LL Pow(LL a, LL b) {LL s = 1;while (b) {if (b & 1)s = s * a % MOD;a = a * a % MOD, b = b >> 1;}return s;
}
int main() {scanf("%d", &T);while (T--) {scanf("%d", &n);for (int i = 1; i <= 2 * n; i++)f[i] = g[i] = 0;f[n] = g[n] = 1;for (int i = n - 1; i; i--)f[i] = (g[i + 1] - g[i * 2] + MOD) % MOD, g[i] = (g[i + 1] + f[i]) % MOD;for (int i = 1; i <= n; i++)printf("%lld\n", f[i] * Pow(2, i / 2) % MOD * Pow(Pow(2, n - 1), MOD - 2) % MOD);}return 0;
}
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