CF1737E Ela Goes Hiking

Ela Goes Hiking"/>

CF1737E Ela Goes Hiking

CF1737E Ela Goes Hiking

题目大意

n n n 只蚂蚁站成一排，第 1 1 1 只蚂蚁左边和第 n n n只蚂蚁右边各有一个挡板，相邻两只蚂蚁的距离、第 1 1 1 只蚂蚁与左边挡板的距离和第 n n n 只蚂蚁与右侧挡板的距离相等。初始时每只蚂蚁重量相等，每只蚂蚁有 1 2 \frac{1}{2} 21​ 概率向左运动， 1 2 \frac{1}{2} 21​ 概率向右运动，每只蚂蚁速度相同。中途蚂蚁不可主动改变方向，如果碰到挡板则向相反方向运动，若两只蚂蚁相遇，重量大的蚂蚁会把重量小的蚂蚁吃掉，重量变为两者之和，如果重量相同，向左运动的蚂蚁会吃掉向右运动的蚂蚁。求对于所有 1 ≤ i ≤ n 1\leq i\leq n 1≤i≤n，第 i i i 只蚂蚁成为最终的存活者的概率对 1 0 9 + 7 10^9+7 109+7 取模。

题解

我们可以发现，每只初始向左的蚂蚁一定会吃掉它左边连续的向右边的蚂蚁。对于最右边的蚂蚁，它无论向那个方向，都会转到向左，我们可以认为它一定向左。

把所有初始向左的蚂蚁吃完后，现在还剩几只大蚂蚁。第一只先跟第二只决斗，然后胜者跟第三只决斗，以此类推。两只蚂蚁决斗，如果重量不同，则重量大的蚂蚁获胜，否则在右边的蚂蚁获胜。

第 i i i只蚂蚁要获胜，首先它要向右吃掉所有编号比它小的蚂蚁。然后与编号比它大的蚂蚁决斗时，必须是它胜利。我们分成两步来做。

首先，它要吃掉所有编号小于它的蚂蚁。设 i i i之前第一只向左走的蚂蚁为 j j j，则无论 1 1 1到 j j j中哪只蚂蚁获胜，都会变成一只体重为 j j j的蚂蚁，而此时 i i i的重量为 i − j i-j i−j，也就是要满足 j ≤ i − j j\leq i-j j≤i−j，即 j ≤ ⌊ i 2 ⌋ j\leq \lfloor\dfrac{i}{2}\rfloor j≤⌊2i​⌋。那么编号为 1 1 1到 ⌊ i 2 ⌋ \lfloor\dfrac{i}{2}\rfloor ⌊2i​⌋的蚂蚁可以任意选，而编号为 ⌊ i 2 ⌋ \lfloor\dfrac{i}{2}\rfloor ⌊2i​⌋到 i − 1 i-1 i−1的蚂蚁必须向右走，并被蚂蚁 i i i吃掉。那么左边的方案数为 2 ⌊ i 2 ⌋ 2^{\lfloor\frac i2\rfloor} 2⌊2i​⌋。

然后考虑右边的情况。设 i i i之后第一个只向左走的蚂蚁为 j j j，则显然要满足 i > j − i i>j-i i>j−i才能使 i i i能吃掉 j j j，也就是 j < 2 i j<2i j<2i。设 f i f_i fi​表示在前 i i i只蚂蚁统一为一只后这只蚂蚁最终获胜的条件下右边蚂蚁有多少种排列方案，则转移式为

f i = ∑ j = i + 1 2 i − 1 f j f_i=\sum\limits_{j=i+1}^{2i-1}f_j fi​=j=i+1∑2i−1​fj​

可以用前缀和优化DP。

那么位置 i i i的蚂蚁最终能获胜的概率为 2 ⌊ i 2 ⌋ × f i 2 n − 1 \dfrac{2^{\lfloor\frac i2\rfloor}\times f_i}{2^{n-1}} 2n−12⌊2i​⌋×fi​​（因为第 n n n只蚂蚁一定向左，所以不用考虑它，总方案数为 2 n − 1 2^{n-1} 2n−1）。

时间复杂度为 O ( ∑ n ) O(\sum n) O(∑n)。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1000000;
int T,n;
long long ans,ny2=500000004,w[1000005],ny[1000005],f[1000005],s[1000005];
long long mod=1000000007;
int main()
{w[0]=ny[0]=1;for(int i=1;i<=N;i++){w[i]=w[i-1]*2%mod;ny[i]=ny[i-1]*ny2%mod;}scanf("%d",&T);while(T--){scanf("%d",&n);f[n]=s[n]=1;s[n+1]=0;for(int i=n-1;i>=1;i--){f[i]=(s[i+1]-s[min(2*i,n+1)]+mod)%mod;s[i]=(s[i+1]+f[i])%mod;}for(int i=1;i<=n;i++){ans=w[i/2]*f[i]%mod*ny[n-1]%mod;printf("%lld\n",ans);}}return 0;
}