【小学数学问题通解】之一 损有余而补不足

小学数学问题通解】之一 损有余而补不足"/>

【小学数学问题通解】之一 损有余而补不足

【小学数学问题通解】之一

“损有余而补不足”，论“分苹果”数学问题的一般求解方法

Joyce Zhang

十一期间，数学老师陆陆续续给我们出了一些数学题，其中有一道题目让我紧锁眉头、百思不得其解。题目是这样的：

   已知被除数/除数=7余5，被除数+除数=61，求除数是多少？

万般无奈之下，我只好找爸爸去讨论。爸爸说“授之以鱼不如授之以渔，你想不想彻底弄懂这一类题目？”，我说：“想啊，当然想！”。爸爸首先给我讲了一个大灰狼给狗兄弟分饼的故事，然后告诉我“大灰狼不够公正，如果公正的话，应该是多了拿走，少了补足，也就是道德经里面的‘损有余而补不足’”。在爸爸的引导下，花了近20分钟，我终于弄懂了这道题目的求解方法，并且弄懂了这一类题目的求解思路。下面，我把这一类题目的求解方法总结出来，希望和同学们一起进步。

（一）  题型一：等分问题

题目：甲和乙共有10个苹果，且甲乙苹果数目相同，问各有几个苹果？

解题：2份苹果共10个，因此每份苹果数为5。计算式如下：

1 + 1 = 2（份）

10 / 2 = 5（个）

      答：甲和乙都有苹果5个。

（二）  题型二：倍数问题

题目：甲乙共有12个苹果，甲是乙的2倍，甲乙各有多少个苹果？

解题：等分问题是倍数问题的一般问题，而倍数问题是等分问题的拓展。甲是乙的两倍，就是说，如果乙算1份的话，甲有2份，那么总共就是3份，因此每份有4个苹果。算式如下：

1 + 2 = 3（份）

12 / 3 = 4（个）

12 - 4 = 8（个） 或 4 *2 = 8（个）

答：乙有4个苹果，甲有8个苹果。

小朋友们，下面这道题目你会吗？

    已知被除数是除数的2倍，被除数和除数的和是12，求除数是多少？

（三）  题型三：等分有余或不足问题

题目：甲乙共有12个苹果，甲比乙多2个，甲乙各有多少个苹果？

解题：这道题目首先要把甲多的2个苹果先“借走”（后面会补回来的）。因为甲比乙多2个，我们用12减去多的2个后，甲乙苹果数目相等（转化为第一类型问题），除2以后，得到乙的苹果数；再加上多的2个，就得到甲的苹果数。算式如下：

12 - 2 = 10（个）          ——损有余

10 / 2 = 5（个）

12 - 5 = 7（个）或 5 + 2 = 7 （个）

答：乙有5个苹果，甲有7个苹果。

小朋友们，懂了上面的这道题目，下面的题目你会吗？解它的诀窍在于“损”和“补”一起使用噢：

   甲乙共有10个苹果，甲给乙1个苹果后两人一样多，问甲乙各有多少个苹果？

（四）  题型四：倍数有余或者不足问题

题目：甲乙共11个苹果，甲的苹果是乙的2倍还多2个，甲乙各有多少个苹果？

解题：这道题目是等分有余问题的拓展，同样第一步把甲多余的2个苹果先拿走（最后还回来），那么总数将变成9个苹果（转化为第二类型问题），那么共有3份，每份就是3个。算式如下：

11 - 2 = 9（个）             ——损有余

2 + 1 = 3 （份）

9 / 3 = 3（个）

11 - 3 = 8（个）或 3 *2 + 2 = 8 （个）

答：乙有3个苹果，甲有8个苹果。

小朋友，下面这道题目你会了吗？

    已知被除数/除数=7余5，被除数+除数=61，求除数是多少？

对了，这就是文章开头的那道题目拉！它相当于：

    已知甲和乙共有61个苹果，甲的苹果数是乙的7倍还多5个，问各有几个苹果？

（五）  题型五：几分之一问题

题目：甲乙共有9个苹果，甲的苹果数是乙的1/2，甲乙各有多少个苹果？

解题: 所有几分之一的题目都可以转化为第二类型倍数问题。甲是乙的1/2，那意味着乙是甲的2倍。算式：

2 + 1 = 3 （份）

9 / 3 = 3（个）

9 - 3 =  6（个）或 3 *2 = 6 （个）

答：甲有3个苹果，乙有6个苹果。

（六）  题型六：几分之一有余或不足问题

题目：甲乙共有10个苹果，甲的苹果数是乙的1/3少2个，甲乙各有多少个苹果？

解题: 如果我们先把甲夺出的2个苹果借走，那么可以转化为第五类问题。算式如下：

10 + 2 = 12 （个）           ——补不足

3 + 1 = 4 （份）

12 / 4 = 3（个）

3 - 2 = 1 （个）

10 - 1 = 9（个）或   （1+2）*3 = 9（个）

答：甲有1个苹果，乙有9个苹果。

小朋友，下面这道题目你会了吗？

    甲乙共有10个苹果，甲的苹果数是乙的1/3多2个，甲乙各有多少个苹果？

（七）  题型七：几分之几问题

题目：甲乙共有14个苹果，甲的苹果数是乙的3/4，甲乙各有多少个苹果？

解题：因为“甲的苹果数是乙的3/4”，甲占3份，乙占4份，3+4=7，总共7份。14除以7得到1份的苹果数，用甲占的3份乘以2得到甲的苹果数。已知乙占4份，乘以2得到乙的苹果数；或者苹果总数减去甲的苹果数，就得到乙的苹果数。算式：

3 + 4 = 7 （份）  

14 / 7 = 2（个/份）  

2 *3 = 6 （个）  

2 *4 = 8 （个）  或14 – 6 = 8（个）

答：甲有6个苹果，乙有8个苹果。

（八）  题型八：几分之几有余或不足问题

题目：甲乙共有18个苹果，甲的苹果数是乙的3/4少3个，甲乙各有多少个苹果？

解题：因为“甲的苹果数是乙的3/4少3个”，先借3个给甲（总数也增加3个为21个），甲占3份，乙占4份，3+4=7，总共7份。21除以7得到1份的苹果数，用甲占的3份乘以3减3得到甲的苹果数。已知乙占4份，乘以3得到乙的苹果数；或者苹果总数减去甲的苹果数，就得到乙的苹果数。算式：

18 + 3 = 21 （个）         —— 补不足                      

3 + 4 = 7 （份）  

21/ 7 = 3（个/份）  

3 *3 - 3 = 6 （个）  

3 *4 = 12 （个）  或18 – 6 = 12（个）

答：甲有6个苹果，乙有12个苹果。

小朋友们，如果有下面这么一道题，你会做吗？

   甲乙共有17个苹果，甲给乙1个苹果后苹果数是乙的3/4多3个，甲乙各有多少个苹果？

总结：

通过这些题目的讨论，让我更加深入的了解了题目，思路更加清晰了。所有这些问题的思路可以大致归结为如下4个步骤：（1）将多余的苹果从某个人手中拿走，意味着者总数也变少了，通过这一步使问题转化为倍数问题；（2）由相互倍数问题得到全部苹果对应的总份数；（3）有总分数得到每份对应的苹果数目；（4）由每个人占的苹果分数，得到各自分得的苹果数目。

回到开头那个题目：

   已知被除数/除数=7余5，被除数+除数=61，求除数是多少？

解题思路：因为总数为61，减去余数5后得到商的整数倍。7+1得到总倍数，以56除以8得到除数为7，被除数为61-7=54，算式如下：

          61 – 5 = 56  

          7 + 1 = 8 

          56 / 8 = 7  

答：除数是7，被除数是54。

    小朋友，爸爸今天只和我讨论了2个人分苹果的情况，如果3个人一起分苹果，类似的情况你会做吗？好希望和大家一起讨论一下，这样我就不害怕爸爸考我了。

 【思路一句话总结】

       损有余而补不足，不患贫而患不均！