[从头学数学] 第134节 整式的乘法与因式分解

整式的乘法与因式分解"/>

[从头学数学] 第134节 整式的乘法与因式分解

剧情提要：
[机器小伟]在[工程师阿伟]的陪同下进入了筑基中期的修炼，
这次要修炼的目标是[整式的乘法与因式分解]。

正剧开始：

星历2016年03月12日 11:13:44, 银河系厄尔斯星球中华帝国江南行省。
[工程师阿伟]正在和[机器小伟]一起研究[整式的乘法与因式分解]。

今天这部分功法的名字特别的长，内容也是特别的多。不过小伟不在乎。

[工程师阿伟]刚给小伟做了一件新玩具，来玩一玩吧；

这个是怎么出来的呢？是这样的：

<span style="font-size:18px;">function myDraw(xGlobal, yGlobal) {  var config = new PlotConfiguration();      config.init();  config.setPreference();  var r = 15;config.setSector(1,1,1,1);  //config.graphPaper2D(0, 0, r);//config.axis2D(0, 0,180);  var s = ['a^[m]*a^[m] = (a*a*a*...*a) * (a*a*a*...*a)', '= a*a*...*a', '= a^[m+n]'];var x = -250, y = -100;var mathText = new MathText();for (var i = 0; i < s.length; i++) {mathText.print(s[i], x, y);y += 50;}		}</span>

当然，用到了这个类：

<span style="font-size:18px;">/**
* @usage   数学表达式，代数式的书写
* @author  mw
* @date    2016年03月12日  星期六  11:05:12 
* @param
* @return
*
*/
function MathText() {//上标标记形式为...^[内容]...//分数不进行处理， 根式不进行处理，都转成指数式进行//特殊数学符号设想加\[alpha]进行转义，待续//可以进行指数上标代数式的书写//可扩展下标，待续this.setNormalFont = function() {plot.setFont("normal normal normal 24px Times New Roman");	}this.setScriptFont = function() {plot.setFont("italic normal normal 16px Arial Black");}this.print = function(text, xPos, yPos) {xPos = xPos ? xPos : 0;yPos = yPos ? yPos : 0;plot.save();var s = text ? text : 'undefined';//字符串长度var len = s.length;//不同字体大小设置在此var r1 = 20;//单个字符暂存处var c;//文本显示位置var x = xPos, y = yPos;//正常文本暂存var s0 = '';//字符串打印长度var measure; //设置正常字体this.setNormalFont();				for (var i = 0; i < len; i++) {if (s[i] == '^') {//上标开始//上标标记形式为...^[内容]...if (s0 != '') { //先把正常字符打印出if (r1 != 20) { //字体字号大小还在上标状态r1 = 20;this.setNormalFont();					}measure = plot.measureText(s0);plot.fillText(s0, x, y, measure);s0 = '';x += measure;}var upperScript = '';for (var j = i+1; s[j]!=']'; j++) {if (s[j] != '[') {upperScript+=s[j];}}if (r1 != 10) {//正常字体状态，需要改为上标字体r1 = 10;this.setScriptFont();}measure = plot.measureText(upperScript);plot.fillText(upperScript, x, y-10, measure);x += 1.2*measure;//直接跳跃过上标字符区段i = j;}else {c = s[i];if (c == '*') {c = ' \u00B7 ';}s0 += c;}}if (s0 != '') { //先把正常字符打印出if (r1 != 20) { //字体字号大小还在上标状态r1 = 20;this.setNormalFont();				}measure = plot.measureText(s0);plot.fillText(s0, x, y, measure);x += measure;}plot.restore();}}</span>

考虑到尽量简便的原则，阿伟只实现了非常少的功能。

小伟想试着算一算，就又拿出了多项式的工具。

<span style="font-size:18px;">>>> 
['x2x5', 'aa6']
多项式x2x5 具有以下的项： ['x2x5']
其中各单项分别是：
单项式x2x5 的系数是1， 次数是7，详细是[['x', 7]]。
合并同类项后详细情况是： [[1, 7, [['x', 7]]]]
合并同类项后是:x7多项式aa6 具有以下的项： ['aa6']
其中各单项分别是：
单项式aa6 的系数是1， 次数是7，详细是[['a', 7]]。
合并同类项后详细情况是： [[1, 7, [['a', 7]]]]
合并同类项后是:a7</span>

<span style="font-size:18px;">	var s = ['(a^[m])^[n]','= a^[m]*a^[m]*...*a^[m]','= a^[m+m+...+m]','= a^[mn]'];</span>

<span style="font-size:18px;">	var s = ['(ab)^[n]','= (ab)*(ab)*...*(ab)','= a*a*...*a*b*b*...*b','= a^[n]b^[n]'];</span>

<span style="font-size:18px;">['ac5bc3', '-12x2x-4x2', '0.333333ab2ab-abab']
多项式ac5bc3 具有以下的项： ['ac5bc3']
其中各单项分别是：
单项式ac5bc3 的系数是1， 次数是10，详细是[['a', 1], ['b', 1], ['c', 8]]。
合并同类项后详细情况是： [[1, 10, [['a', 1], ['b', 1], ['c', 8]]]]
合并同类项后是:abc8多项式-12x2x-4x2 具有以下的项： ['-12x2x', '-4x2']
其中各单项分别是：
单项式-12x2x 的系数是-12， 次数是3，详细是[['x', 3]]。
单项式-4x2 的系数是-4， 次数是2，详细是[['x', 2]]。
合并同类项后详细情况是： [[-12, 3, [['x', 3]]], [-4, 2, [['x', 2]]]]
合并同类项后是:-12x3-4x2多项式0.333333ab2ab-abab 具有以下的项： ['0.333333ab2ab', '-abab']
其中各单项分别是：
单项式0.333333ab2ab 的系数是0.333333， 次数是5，详细是[['a', 2], ['b', 3]]。
单项式-abab 的系数是-1， 次数是4，详细是[['a', 2], ['b', 2]]。
合并同类项后详细情况是： [[0.333333, 5, [['a', 2], ['b', 3]]], [-1, 4, [['a', 2], ['b', 2]]]]
合并同类项后是:0.333333a2b3-a2b2</span>

接着是多项式的除法：

<span style="font-size:18px;">	var s = ['(a+b)(a-b)=a^[2]-b^[2]','(a+b)^[2]=a^[2]+2ab+b^[2]','(a-b)^[2]=a^[2]-2ab+b^[2]'];</span>

活动1：

<span style="font-size:18px;">	var s = ['(a+5)(a+5)','=a*a+2*5*a+25','=(a+10)a+25','=(a/10)*(a/10+1)*100+25'];</span>

活动2:

<span style="font-size:18px;">	var s = ['(a*10+b)(a*10+(10-b))','=(a*10)^[2]+a*10*(b+10-b)+b*(10-b)','=(a*10)^[2]+100*a+b*(10-b)','=a*(a+1)*100+b*(10-b)',];</span>

<span style="font-size:18px;">>>> 53*57
3021
>>> 95*95
9025
>>> 71*79
5609
>>> 38*32
1216
>>> 84*86
7224
>>> 58*52
3016
>>> 63*67
4221
>>> 75*75
5625</span>

多项式工具，只能完成很少的功能，不过，如果没有括号，还是可以做一些事情的：

<span style="font-size:18px;">###
# @usage   单项式相关概念
# @author  mw
# @date    2016年02月26日  星期五  10:00:14 
# @param
# @return
#
###
#单项式
#可以有**， ^号，暂时只能处理代号为一个字母的式子，像x_1, x_n, ...这种还不能处理。
def monomial(s):#原始复本s0 = s;s = s.replace('**', '^');s = s.replace('*', '');if (s.find('+') != -1 or (s.find('-') != -1 and s.find('-')!=0)):print(s0, '不是单项式。');return [];try:#系数sign = 1;if s[0] == '-':#负号sign = -1;s = s[1:];coefficient = 1;#字符串长度length = len(s);index = 0;while (not s[index].isalpha()):index+=1;if index >= length:index = length;break;if (index > 0):coefficient = float(s[:index]);if abs(int(coefficient)-coefficient) < 0.001:coefficient = int(coefficient);        s = s[index:];coefficient = sign * coefficient;#系数为0的项，其实就是0if (coefficient == 0):return [];#print(coefficient, s);length = len(s);array = [];result = [];if (length > 0):index = 0;index2 = 0;name = '';degree = 0;while index < length:        if s[index].isalpha():if (name != ''):array.append([name, degree]);name = '';degree = 0;name = s[index];degree = 1;index += 1;else:index2 = index;tmp = '';while (not s[index2].isalpha()):index2+=1;if (index2 >= length):index2 = length;break;tmp = s[index:index2];tmp = tmp.replace('^', '');degree = float(tmp);if abs(int(degree)-degree) < 0.001:degree = int(degree);index = index2;if (name != ''):array.append([name, degree]);name = '';degree = 0;#print(array);#所有字母，去除重复的setA = set();size = len(array);#单项式的次数totalDegree = 0;for i in range(size):setA.add(array[i][0]);totalDegree += array[i][1];listA = list(setA);listA.sort();size2 = len(listA);result = [];for i in range(size2):#计算每个字母的次数(degree)tmp = 0;for j in range(size):if listA[i] == array[j][0]:tmp += array[j][1];result.append([listA[i], tmp]);print('单项式{0} 的系数是{1}， 次数是{2}，详细是{3}。'.format(\s0, coefficient, totalDegree, result));else:totalDegree = 0;if (coefficient != 0):print('单项式{0} 的系数是{1}， 次数是{2}，'.format(\s0, coefficient, 0));else:print('这个数是0, 暂无规定。');#返回单项式的次数return [coefficient, totalDegree, result];except:print(s0, '有误，无法正确计算。');###
# @usage   多项式相关概念
# @author  mw
# @date    2016年02月26日  星期五  10:30:37 
# @param   如果有括号，需要先自行去除，
# @return
#
###
def polynomial(s):if (s == ''):return;#预留复本s0 = s;#只能有+或-号连接各项，不能有括号，分数要先化成小数s = s.replace('-', '+-');if (s[0] == '+'):s = s[1:];#各项terms = s.split('+');print('多项式{0} 具有以下的项： {1}\n其中各单项分别是：'.format(s0, terms));try:size = len(terms);array = [];for i in range(size):#此处也可扩展单项的合法性检查。if (terms[i] == ''):pass;else:tmp = monomial(terms[i]);#对于返回[]的项，剔除掉if len(tmp)>0:array.append(tmp);#print(array);size2 = len(array);for i in range(size2):#判断系数是否是0if array[i][0] == 0:continue;for j in range(i+1, size2):if array[j][0] == 0:continue;else:if (sameTerm(array[i], array[j])):#合并同类项array[i][0]+=array[j][0];array[j][0] = 0;result = [];for i in range(size2):#判断系数是否是0if array[i][0] == 0:continue;else:#保留三位小数array[i][0] = round(array[i][0], 6);result.append(array[i]);print('合并同类项后详细情况是：', result);sResult = '';size3 = len(result);if (size3)>0:for i in range(size3):tmp1 = result[i][0];if (tmp1 >= 0):if (tmp1 != 1):sResult += '+'+str(tmp1);else:sResult += '+';if (tmp1 < 0):if (tmp1!=-1):sResult += str(tmp1);else:sResult += '-';tmp2 = result[i][2];length = len(tmp2);if (length == 0 and abs(tmp1)==1):sResult += '1';else:for j in range(length):if tmp2[j][1] != 1:sResult += tmp2[j][0]+str(tmp2[j][1]);else:sResult += tmp2[j][0];if sResult[0] == '+':sResult = sResult[1:];else:#所有项的系数刚好抵消，导致结果为0sResult = '0';print('合并同类项后是:{0}\n\n'.format(sResult));except:print(s0, '有误，无法进行多项式操作。');return;#同类项判断
def sameTerm(a, b):#由于a, b具有以下格式[1, 1, [['v', 1]]] [系数, 次数, 详细元素]if (a[1] == 0 and b[1] == 0):return True;if (a[1] != b[1]):#次数不同return False;if (len(a[2]) != len(b[2])):#元素个数不同return False;a1 = list(a[2]);b1 = list(b[2]);a1 = sorted(a1, key=lambda num:num[0]);b1 = sorted(b1, key=lambda num:num[0]);size = len(a1);for i in range(size):if a1[i][0] != b1[i][0] or a1[i][1] != b1[i][1]:return False;return True;###
# @usage   代数式，可以对系数中含计算式的情况进行计算，得出简化后的多项式字符串
# @author  mw
# @date    2016年02月27日  星期六  09:23:44 
# @param
# @return
#
###
#代数式
def algExpr(s):s0 = s;#判断字符串中左右括号是否匹配if s.count('(') - s.count(')') != 0:print(s, '左右括号数目不匹配，表达式有误。');return '';#去除空格s = s.replace(' ', '');#存放需要计算的表达式子串sub = '';length = len(s);#新字符串sNew = '';#括号层次bracket = 0;result = [];#需要计算的部分，是从每一个单项的开始处，一般只需要计算系数need = 1;#精度precision = 6;#遍历字符串si = 0;while i < length:if (s[i] == '('):bracket+=1;sub += s[i];elif (s[i] == ')'):bracket -=1;sub += s[i];                elif (s[i].isalpha()):if sub != '':if (sub[-1]=='*'):sub=sub[:-1];sNew += str(round(eval(sub), precision))+ s[i];sub = '';else:sNew += s[i];#由于字母后面是次数，不需要计算#need = 0;            elif (s[i] == '+' or s[i] == '-'):if (bracket == 0):if sub != '':if (sub[-1]=='*'):sub=sub[:-1];sNew += str(round(eval(sub), precision))+ s[i];sub = '';else:sNew += s[i];#need = 1;else:sub += s[i];else:if (need == 1):sub += s[i];else:sNew += s[i];i += 1;if sub != '':if (sub[-1]=='*'):sub=sub[:-1];sNew += str(round(eval(sub), precision));sub = '';#print(sNew);return sNew;      def tmp():a = ['ac5bc3', '-12x2x-4x2', '1/3ab2ab-abab'];size = len(a);for i in range(size):a[i] = algExpr(a[i]);print(a);for i in range(size):#print('<{0}>\n'.format(i+1));polynomial(a[i]);return;
</span>

本节到此结束，欲知后事如何，请看下回分解。