机器人坐标系——工具坐标、用户坐标系标定

坐标系——工具坐标、用户坐标系标定"/>

机器人坐标系——工具坐标、用户坐标系标定

坐标系变换方程

   如果有n个未知变换和n个变换方程，这个变换可由变换方程解出。例如：图1中变换 T B T {^B_T}T TB​T描述了操作臂指向的坐标系{T}，它是相对于操作臂基座的坐标系{B}的，又已知工作台相对于操作臂基座的空间位置 S B T {^B_S}T SB​T，并且已知工作台上螺栓的坐标系相对于工作台坐标系的位置，即 G S T {^S_G}T GS​T，计算螺栓相对于操作手的位置， G T T {^T_G}T GT​T。

   由公式推导，得到相对于操作手坐标系的螺栓坐标系为： G T T {^T_G}T GT​T= T B T − 1 {^B_T}T^{-1} TB​T−1 S B T {^B_S}T SB​T G S T {^S_G}T GS​T

基坐标系｛B｝

  基坐标系｛B｝位于操作臂的基座上。它仅是赋予坐标系｛0｝的另一个名称。

工具坐标系｛T｝

  工具坐标系｛T｝附于机器人所夹持的工具末端。
工具坐标系6点法标定：
  机器人末端坐标系 ｛E｝相对于机器人基坐标系｛B｝的变换关系为 E B T {^B_E}T EB​T; 工具坐标系 ｛T｝相对于末端坐标系 ｛E｝的变换关系为 T E T {^E_T}T TE​T; 工具坐标系 ｛T｝相对于基坐标 ｛B｝的变换关系为 T B T {^B_T}T TB​T; 三者的转换关系为： E B T {^B_E}T EB​T ⋅ \cdot ⋅ T E T {^E_T}T TE​T = T B T {^B_T}T TB​T
  采用四点法标定TCP如图所示,标定 TCP的4个位置，4 点之间各差90度且不能在一个平上。 E B R i {^B_E}R_i EB​Ri​分别为机器人末端坐标系 4 个点的旋转矩阵； B P E i {^B}P_{Ei} BPEi​分别为机器人末端坐标系 4 个点的位置矢量; T B R {^B_T}R TB​R为工具的旋转矩阵; E P T {^E}P_{T} EPT​为工具的位置矢量; T B R i {^B_T}R_i TB​Ri​分别为工具坐标系末端4个点的旋转矩阵; B P T {^B}P_{T} BPT​为工具坐标系末端的位置矢量。因 4 个不同位姿下工具坐标系在基坐标系的位置不变，即 B P T x {^B}P_{Tx} BPTx​， B P T y {^B}P_{Ty} BPTy​， B P T z {^B}P_{Tz} BPTz​为定值； T E R {^E_T}R TE​R， E P T {^E}P_{T} EPT​各个参数不变也为定值。

[ T B R 1 − T B R 2 T B R 2 − T B R 3 T B R 3 − T B R 4 ] ⋅ [ E P T x E P T y E P T z ] = [ B P E x 2 − B P E x 1 B P E y 2 − B P E y 1 B P E z 2 − B P E z 1 B P E x 3 − B P E x 2 ⋮ B P E z 4 − B P E z 3 ] \begin{bmatrix} {^B_T}R_1- {^B_T}R_2\\ {^B_T}R_2- {^B_T}R_3\\{^B_T}R_3- {^B_T}R_4\\ \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} {^E}P_{Tx} \\{^E}P_{Ty}\\{^E}P_{Tz}\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {^B}P_{Ex2}- {^B}P_{Ex1}\\ {^B}P_{Ey2}- {^B}P_{Ey1}\\{^B}P_{Ez2}- {^B}P_{Ez1}\\{^B}P_{Ex3}- {^B}P_{Ex2} \\ \vdots\\{^B}P_{Ez4}- {^B}P_{Ez3} \end{bmatrix} ⎣⎡​TB​R1​−TB​R2​TB​R2​−TB​R3​TB​R3​−TB​R4​​⎦⎤​⋅⎣⎡​EPTx​EPTy​EPTz​​⎦⎤​=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡​BPEx2​−BPEx1​BPEy2​−BPEy1​BPEz2​−BPEz1​BPEx3​−BPEx2​⋮BPEz4​−BPEz3​​⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤​

  式中包含 E P x {^E}P_{x} EPx​， E P y {^E}P_{y} EPy​， E P z {^E}P_{z} EPz​ 3个未知量，系数为9×3的矩阵。因为系数矩阵不是方阵，不可直接求逆，因此使用广义逆矩阵，采用高斯消元求解。
  计算出工具坐标系的位置后，还需要标定计算TCP的姿态。TCP姿态采用 z/x 方向标定，此过程保持TCP的姿态不变。将位置标定点 P 4 P_{4} P4​作为第 1个 TCP姿态标定点，示教机器人沿+X 方向至少移动250mm后作为第 2个标定点 P 5 P_{5} P5​ ; 然后回到第 1个标定点示教机器人沿 +Z方向移动至少250mm作为第3个标定点 P 6 P_{6} P6​。

  因为3个标定点的姿态保持不变，可得 E B R i {^B_E}R_i EB​Ri​ 都相等。因为第1个姿态标定点与第2 个标定点( 沿 +X 方向) 之间的向量关系也就是工具坐标系沿+X 方向的向量，因此得到工具坐标系 T 的 X 轴轴向向量：
X = [ B P 5 E x − B P 4 E x B P 5 E y − B P 4 E y B P 5 E z − B P 4 E z ] X=\begin{bmatrix} {^B}P_{5Ex}- {^B}P_{4Ex}\\ {^B}P_{5Ey}- {^B}P_{4Ey}\\{^B}P_{5Ez}- {^B}P_{4Ez} \end{bmatrix} X=⎣⎡​BP5Ex​−BP4Ex​BP5Ey​−BP4Ey​BP5Ez​−BP4Ez​​⎦⎤​
  相似地，根据第1个姿态标定点与第 3个标定点( 沿+Z 方向) 之间的向量关系，由此可以得到工具坐标系T 的 Z 轴轴向向量：
Z = [ B P 6 E x − B P 4 E x B P 6 E y − B P 4 E y B P 6 E z − B P 4 E z ] Z=\begin{bmatrix} {^B}P_{6Ex}- {^B}P_{4Ex}\\ {^B}P_{6Ey}- {^B}P_{4Ey}\\{^B}P_{6Ez}- {^B}P_{4Ez} \end{bmatrix} Z=⎣⎡​BP6Ex​−BP4Ex​BP6Ey​−BP4Ey​BP6Ez​−BP4Ez​​⎦⎤​
  同理Y轴轴向向量由右手定则可得：Y=Z×X再对Z=X×Y 进行计算，以保证坐标系矢量的正交性。
  得到每个轴的轴向向量之后，对其进行单位化操作，得到工具坐标 T 相对于基坐标 B 的姿态，左乘末端坐标系 E 旋转矩阵的逆，求出工具坐标系的旋转矩阵 T E R {^E_T}R TE​R= E B R − 1 {^B_E}R^{-1} EB​R−1 T B R {^B_T}R TB​R。

用户坐标系｛U｝

  用户坐标系｛U｝即，用户自定义坐标系；机器人可以和不同的工作台或夹具配合工作， 在每个工作台上建立一个用户坐标系。
用户坐标系有原点三点标定：
（1）示教第一个点为用户坐标系原点O
（2）在xyz任意轴上示教一点，例如X轴示教一点 P x P_x Px​，则用户坐标系x轴单位向量为n=( P x P_x Px​-O)/norm( P x P_x Px​-O)
（3）在剩余两轴上示教一点，例如Y轴示教一点 P y P_y Py​，则用户坐标系y轴单位向量为o=( P y P_y Py​-O)/norm( P y P_y Py​-O)
（4）计算得到则用户坐标系z轴单位向量a=n×o

即，建立好的用户坐标系为（在基坐标系下的描述）：
U B U = [ n x o x a x O x n y o y a y O y n z o z a z O z 0 0 0 1 ] {^B_U}U=\begin{bmatrix} n_x&o_x&a_x &O_x\\ n_y&o_y&a_y&O_y\\n_z&o_z&a_z&O_z\\0&0&0&1 \end{bmatrix} UB​U=⎣⎢⎢⎡​nx​ny​nz​0​ox​oy​oz​0​ax​ay​az​0​Ox​Oy​Oz​1​⎦⎥⎥⎤​
  这样我们就在基坐标系｛B｝下，建立了一个用户坐标系｛U｝，在用户坐标系下测量工作空间内各点位置，更方便记录描述参数，符合人的直观。在基坐标系下的点 B P ^BP BP与用户坐标系下的点 U P ^UP UP关系为： B P ^BP BP= U B U {^B_U}U UB​U U P ^UP UP