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并查集入门讲解(C语言)
众所周知,并查集在数据结构部分有着不可忽视的作用,今天就由小编带着大家来学习一下并查集吧。
首先,我们需要知道并查集的作用:并查集是若干个不相交集合,能够实现较快的合并和判断元素所在集合的操作。同时也有不少考题是来考察并查集的,这就需要我们长时间的练习与思考。
并查集被很多学者认为是最简洁而优雅的数据结构之一,主要用于解决一些元素分组的问题。它管理一系列不相交的集合,并支持两种操作:
- 合并(Union):把两个不相交的集合合并为一个集合。
- 查询(Find):查询两个元素是否在同一个集合中。
- 并查集的引入
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并查集的重要思想在于,用集合中的一个元素代表集合。我曾看过一个有趣的比喻,把集合比喻成帮派,而代表元素则是帮主。接下来我们利用这个比喻,看看并查集是如何运作的。
最开始,所有大侠各自为战。他们各自的帮主自然就是自己。(对于只有一个元素的集合,代表元素自然是唯一的那个元素)
现在1号和3号比武,假设1号赢了(这里具体谁赢暂时不重要),那么3号就认1号作帮主(合并1号和3号所在的集合,1号为代表元素)。
现在2号想和3号比武(合并3号和2号所在的集合),但3号表示,别跟我打,让我帮主来收拾你(合并代表元素)。不妨设这次又是1号赢了,那么2号也认1号做帮主。
现在我们假设4、5、6号也进行了一番帮派合并,江湖局势变成下面这样:
现在假设2号想与6号比,跟刚刚说的一样,喊帮主1号和4号出来打一架(帮主真辛苦啊)。1号胜利后,4号认1号为帮主,当然他的手下也都是跟着投降了。
好了,比喻结束了。如果你有一点图论基础,相信你已经觉察到,这是一个树状的结构,要寻找集合的代表元素,只需要一层一层往上访问父节点(图中箭头所指的圆),直达树的根节点(图中橙色的圆)即可。根节点的父节点是它自己。
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用代码实现以上功能
void cs(int n) {for(int i=1;i<=n;i++){a[i]=i;} }
这段代码用来初始每一个数据的根节点(使其指向它自己)。
int find(int x) {if(a[x]==x){return x;}else{ return find(a[x]); } }
这段代码用于查找该数的根节点(递归实现)。
void un(int x,int y) {x=find(x);y=find(y);a[x]=a[y]; }
该代码可以合并两个集合,即其中一个根节点指向另一个根节点。(即可以x指向y,又可以y指向x)。以上就是实现相关功能的代码。
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优化路径
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最简单的并查集效率是比较低的。例如,来看下面这个场景:
现在我们要un(2,3),于是从2找到1,fa[1]=3,于是变成了这样:
然后我们又找来一个元素4,并需要执行merge(2,4):
从2找到1,再找到3,然后fa[3]=4,于是变成了这样:
大家应该有感觉了,这样可能会形成一条长长的链,随着链越来越长,我们想要从底部找到根节点会变得越来越难。
怎么解决呢?我们可以使用路径压缩的方法。既然我们只关心一个元素对应的根节点,那我们希望每个元素到根节点的路径尽可能短,最好只需要一步,像这样:
其实这说来也很好实现。只要我们在查询的过程中,把沿途的每个节点的父节点都设为根节点即可。下一次再查询时,我们就可以省很多事。这用递归的写法很容易实现:
int find(int x) {if(a[x]==x){return x;}else{a[x]=find(a[x]); //优化路径,即对每一个访问的数据赋值其根节点。return find(a[x]); } }
然后,作者提供一个并查集的题让大家练习吧。(该题的解法小编会在下一篇文章给出,记得查阅哦)。
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7-10 排座位 (25 分)
布置宴席最微妙的事情,就是给前来参宴的各位宾客安排座位。无论如何,总不能把两个死对头排到同一张宴会桌旁!这个艰巨任务现在就交给你,对任何一对客人,请编写程序告诉主人他们是否能被安排同席。
输入格式:
输入第一行给出3个正整数:
N
(≤100),即前来参宴的宾客总人数,则这些人从1到N
编号;M
为已知两两宾客之间的关系数;K
为查询的条数。随后M
行,每行给出一对宾客之间的关系,格式为:宾客1 宾客2 关系
,其中关系
为1表示是朋友,-1表示是死对头。注意两个人不可能既是朋友又是敌人。最后K
行,每行给出一对需要查询的宾客编号。这里假设朋友的朋友也是朋友。但敌人的敌人并不一定就是朋友,朋友的敌人也不一定是敌人。只有单纯直接的敌对关系才是绝对不能同席的。
输出格式:
对每个查询输出一行结果:如果两位宾客之间是朋友,且没有敌对关系,则输出
No problem
;如果他们之间并不是朋友,但也不敌对,则输出OK
;如果他们之间有敌对,然而也有共同的朋友,则输出OK but...
;如果他们之间只有敌对关系,则输出No way
。输入样例:
7 8 4 5 6 1 2 7 -1 1 3 1 3 4 1 6 7 -1 1 2 1 1 4 1 2 3 -1 3 4 5 7 2 3 7 2
输出样例:
No problem OK OK but... No way
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