5.1 FWT(IFWT)模板+完全背包变型+概率期望+数论

数论"/>

5.1 FWT(IFWT)模板+完全背包变型+概率期望+数论

什么51派对啊，全坐牢了。

FWT模板
用法：op代表是IFWT还是FWT，or和and的都是-1代表IFWT，xor是inv2代表IFWT

进一步
我们可以想一个大n*n矩阵A，是由A[i][j] = a[i^j],这个A是FWT_XOR（a）

Circulant Matrix
P4717 【模板】快速莫比乌斯/沃尔什变换 (FMT/FWT)
板子题如上
模板如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod =1e9+7;
int n;
const int N = 1<<17|1;
int a[N];
int b[N];
void FWT_or(int a[],int op)
{for(int i=1;i<n;i<<=1){for(int p=i<<1,j=0;j<n;j+=p){for(int k=0;k<i;k++){(a[i+j+k]+=a[j+k]*op+mod)%=mod;}}}
}void FWT_and(int a[],int op)
{for(int i=1;i<n;i<<=1){for(int p=i<<1,j=0;j<n;j+=p){for(int k=0;k<i;k++){(a[j+k]+=a[i+j+k]*op+mod)%=mod;}}}
}void FWT_xor(int a[],int op)
{for(int i=1;i<n;i<<=1){for(int p=i<<1,j=0;j<n;j+=p){for(int k=0;k<i;k++){int X=a[j+k],Y=a[i+j+k];a[j+k]=(X+Y)%mod;a[i+j+k]=(X+mod-Y)%mod;(a[j+k]*=op)%=mod,(a[i+j+k]*=op)%=mod;}}}
}
int main()
{cin>>n;for(int i=0;i<n;i++)//注意从0开始{cin>>a[i];}for(int i=0;i<n;i++){cin>>b[i];}
}

概率期望

Music Game

题意：n此操作，连续x次操作成功的得分是x的m次幂，每次操作成功概率已知，求得分期望

思路：q[i]记录连续i次成功的贡献，p[i][j]记录从i开始连续成功j次的概率，卷积求出期望。

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
#define int long long
const int mod = 1e9+7;
int fastpow(int n,int a)
{int res=1ll;while(n){if(n&1ll){res=(res*a)%mod;}a=(a*a)%mod;n>>=1ll;}return res;
}
int a[1100];
int q[1100];
int ans;
int p[1100][1100];
signed main()
{int inv=fastpow(mod-2ll,100ll);int n,m;cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i];q[i]=fastpow(m,i);}for(int i=1;i<=n;i++){p[i][i]=a[i]*inv%mod;for(int j=i+1;j<=n;j++){p[i][j]=p[i][j-1]*a[j]%mod*inv%mod;}}for(int i=0;i<n;i++){for(int j=i+1;j<=n;j++){ans+=p[i+1][j]*q[j-i]%mod*(100ll-a[i])%mod*inv%mod*(100ll-a[j+1])%mod*inv%mod;ans=ans%mod;}}cout<<ans<<endl;
}

背包变型。
C. Palindrome Basis
题意：给定一个数，问这个数被回文数相加得来的不同方案数是多少
定义回文数：数字翻转后不变 比如 1，11，121

思路：由于n很小只有40000想到是否可以考虑n*n级别算法的优化，发现实际上40000个数中只有不到499个数是回文数，回文数题中说可以任意取

再看题意就是：有499种物品给定体积，每种物品无限取，求物品体积恰好是n的方案数
这样就很明确了：完全背包恰好装满情况变型

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 4e4+100;
const int mod =1e9+7;
int cnt;
int obj[N];
int dp[N][510];
bool check(int n)
{int a[10];int cnt1=0;while(n){a[++cnt1]=n%10;n/=10;}for(int i=1,j=cnt1;i<=j;i++,j--){if(a[i]!=a[j]){return false;}}return true;
}
void get()
{for(int i=1;i<=N;i++){if(check(i)){obj[++cnt]=i;}}
}
int main()
{get();for(int i=1;i<=cnt;i++){dp[0][i]=1;}for(int i=1;i<=40000+10;i++){dp[i][0]=0;for(int j=1;j<=cnt;j++){if(i>=obj[j]){dp[i][j]=(dp[i][j-1]+dp[i-obj[j]][j])%mod;}else{dp[i][j]=dp[i][j-1]%mod;}}}int t;for(cin>>t;t;t--){int n;cin>>n;cout<<dp[n][cnt]%mod<<endl;}return 0;
}

数论
C. Strange Function

难度 1600

题意：给一个数n，求f(1)到f(n)的和
定义：f(x)的值为，第一个不能作为x因子的正整数

结论题

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int mod = 1e9+7;
int gcd(int x,int y){return y?gcd(y,x%y):x;
}
int lcm(int x,int y){return x/gcd(x,y)*y;
}
signed main()
{int t;for(cin>>t;t;t--){int n;int temp=1;int ans=0ll;cin>>n;for(int i=1;temp<=n;i++){temp=lcm(temp,i);ans+=n/temp;if(temp>n)break;ans%=mod;}ans+=n;cout<<ans%mod<<endl;}
}

人麻了，5.8省赛延期了，怕不是要和蓝桥国赛，和期末撞在一起，千万别啊，，你是要逼死一个又搞绩点又搞竞赛的人吗。