《线性代数》——读书笔记1

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《线性代数》——读书笔记1

第一章 行列式

1.1 n阶行列式

1.1.1 排列与逆序

定义 1.1.1 由自然数1,2,…,n组成的一个有序数组称为一个n阶排列，记为 j1,j2...jn $j_1,j_2...j_n$。按数字的自然排序由小到大的n阶排列123…n称为标准排列或自然排列。
定义 1.1.2 在一个排列中，若一个较大的数排在一个较小的数的前面，则称这两个数构成了一个逆序。一个排列中所有的逆序的总数称为这个排列的逆序数。用 τ(j1,j2...jn) $\tau(j_1,j_2...j_n)$表示排列 j1,j2...jn $j_1,j_2...j_n$的逆序数，为偶，即为偶排列；为奇则为奇排列。
定义 1.1.3 把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到一个新的排列，这种变换称为排列的一个对换。
定理 1.1.1 一次对换改变排列奇偶性。
推论 任何一个n阶排列都可以通过对换化成标准排列，并且所做对换的次数的奇偶性与该排列的奇偶性相同。

1.1.2 二阶与三阶行列式

D=∣∣∣a11a21a12a22∣∣∣ $$D=\left | \begin{array}{cc} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{array}\right|$$
上式称为 二阶行列式。D中横写的称为 行，竖写的称为 列。D中共有两行两列，其中数 aij $a_{ij}$称为行列式的元素，它的第一个下标i表示这个元素所在的行，称为 行指标；第二个下标j表示这个元素所在的列，称为 列指标。
把行列式中从左上角到右下角的连线称为 主对角线，从右上角到左下角的连线称为 副对角线。

1.1.3 n阶行列式的定义

定义 1.1.4由 n2 $n^2$个元素排成n行、n列，以

∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2………a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣ $$\left | \begin{array}{cccc} a_{11} &a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ a_{21} &a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1} &a_{n2}&\ldots&a_{nn}\\ \end{array} \right|$$
记之，称其为 n阶行列式，它代表一个数值。此数值是取自上式中不同行、不同列的n个元素 a1j1a2j2...anjn $a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}...a_{nj_{n}}$乘积的代数和，其中 j1j2...jn $j_1j_2...j_n$是数字1,2,…,n的某一个排列，故共有n!项。每项当 j1j2...jn $j_1j_2...j_n$为偶排列时取正号，当 j1j2...jn $j_1j_2...j_n$为奇排列时取负号。 D=∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2………a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣=∑j1j2...jn(−1)τ(j1j2...jn)a1j1a2j2...anjn $$D=\left | \begin{array}{cccc} a_{11} &a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ a_{21} &a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1} &a_{n2}&\ldots&a_{nn}\\ \end{array} \right|=\sum _{j_1j_2...j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2...j_n)}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}...a_{nj_{n}}$$

下三角型行列式的值等于主对角线上元素的乘积。

定理 1.1.2 n阶行列式也可定义为

D=∣∣∣∣∣∣a11a21⋮an1a12a22⋮an2………a1na2n⋮ann∣∣∣∣∣∣=∑i1i2...in(−1)τ(i1i2...in)ai11ai22...ainn $$D=\left | \begin{array}{cccc} a_{11} &a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ a_{21} &a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1} &a_{n2}&\ldots&a_{nn}\\ \end{array} \right|=\sum _{i_1i_2...i_n}(-1)^{\tau(i_1i_2...i_n)}a_{i_{1}1}a_{i_{2}2}...a_{i_{n}n}$$
其中， ∑i1i2...in $\sum _{i_1i_2...i_n}$表示对1,2,…,n这n个数组成的所有排列 i1i2...in ${i_1i_2...i_n}$取和。

1.2 行列式的性质

性质 1 行列式与它的转置行列式相等，即 D=DT $D=D^T$。
$\qquad$——说明行列式中行与列的地位是等同的，凡是对行成立的性质，对列也同样成立。
性质 2 如果行列式某一行（列）元素有公因数k，则k可以提到行列式符号外面。
$\qquad$推论如果行列式中某一行（列）元素全为零，那么行列式等于零
性质 3 如果行列式中的两行（列）互换，那么行列式只改变一个符号。
$\qquad$推论 1 若行列式中有两行（列）相同，则行列式的值为零。
$\qquad$推论 2 如果行列式中两行（列）的对应元素成比例，那么行列式的值为零。
性质 4 （拆项性质）如果行列式某行（列）的个元素都可以写成两数之和，例如 aij=bij+cij(j=1,2,...,n) $a_{ij}=b_{ij}+c_{ij}(j=1,2,...,n)$，则此行列式等于两个行列式的和，即

∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮bi1+ci1⋮an1a12⋮bi2+ci2⋮an2………a1n⋮bin+cin⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮bi1⋮an1a12⋮bi2⋮an2………a1n⋮bin⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣∣∣∣a11⋮ci1⋮an1a12⋮ci2⋮an2………a1n⋮cin⋮ann∣∣∣∣∣∣∣∣ $$\left | \begin{array}{cccc} a_{11} &a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ b_{i1}+c_{i1} &b_{i2}+c_{i2}&\ldots&b_{in}+c_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1} &a_{n2}&\ldots&a_{nn}\\ \end{array} \right|= \left | \begin{array}{cccc} a_{11} &a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ b_{i1} &b_{i2}&\ldots&b_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1} &a_{n2}&\ldots&a_{nn}\\ \end{array} \right|+\left | \begin{array}{cccc} a_{11} &a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ c_{i1} &c_{i2}&\ldots&c_{in}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1} &a_{n2}&\ldots&a_{nn}\\ \end{array} \right|$$
性质 5 （倍加性质）如果将行列式中某行（列）的各元素同乘一数k后，加到另一行（列）的各对应元素上，则行列式的值不变。

在行列式 D=|aij|n $D=|a_{ij}|_n$中，若 aij=aji(i,j=1,2,...,n) $a_{ij}=a_{ji}(i,j=1,2,...,n)$，则称D为对称行列式；若 aij=−aji(i,j=1,2,...,n) $a_{ij}=-a_{ji}(i,j=1,2,...,n)$，则称D为反对称行列式。

1.3 行列式的展开与计算

1.3.1 行列式按一行（或一列）展开

定义 1.3.1 在n阶行列式 D=|aij|n $D=|a_{ij}|_n$中，划掉元素 aij $a_{ij}$所在的第i行和第j列后，留下的元素按照原来的顺序组成的n-1阶行列式称为元素 aij $a_{ij}$的余子式，记为 Mij $M_{ij}$。称

Aij=(−1)i+jMij $$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$$ 为元素 aij $a_{ij}$的 代数余子式。
定理 1.3.1 n阶行列式 D=|aij|n $D=|a_{ij}|_n$等于它的任意一行（列）的个元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 D=ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin(i=1,2,...,n) $$D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+...+a_{in}A_{in}\qquad (i=1,2,...,n)$$ 或
D=a1jA1j+a2jA2j+...+anjAnj(j=1,2,...,n) $$D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+...+a_{nj}A_{nj}\qquad (j=1,2,...,n)$$
定理 1.3.2 n阶行列式 D=|aij|n $D=|a_{ij}|_n$中每一行（列）的各个元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于0，即 ak1Ai1+ak2Ai2+...+aknAin=0(i≠k)a1kA1j+a2kA2j+...+ankAnj=0(j≠k) $$a_{k1}A_{i1}+a_{k2}A_{i2}+...+a_{kn}A_{in}=0\qquad (i\ne k)\\a_{1k}A_{1j}+a_{2k}A_{2j}+...+a_{nk}A_{nj}=0\qquad (j\ne k)$$

递推法 把行列式的计算化为形式相同而阶数较低的行列式的计算。另外还有数学归纳法（如证明范德蒙行列式）
范德蒙行列式：

Vn=∣∣∣∣∣∣∣∣1a1a21⋮an−111a2a22⋮an−12………⋱…1ana2n⋮an−1n∣∣∣∣∣∣∣∣=∏1≤j<i≤n(ai−aj) $$V_n=\left| \begin{array}{cccc}1&1&\ldots&1\\a_1&a_2&\ldots&a_n\\a_1^2&a_2^2&\ldots&a_n^2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_1^{n-1}&a_2^{n-1}&\ldots&a_n^{n-1}\end{array}\right|=\prod_{1\le j<i\le n}(a_i-a_j)$$

1.3.2 拉普拉斯定理

定义 1.3.2 在n阶行列式D中，任取k行、k列 (1≤k≤n−1) $(1\le k \le n-1)$，由这些行和列交叉处的元素按照原来的相对位置所构成的k阶行列式N，成为D的一个k阶子式。在行列式D中去掉k阶子式N所在的行和列以后，剩下的元素按原来的顺序构成的n-k阶行列式M，成为N的余子式。若N所在的行序数为 i1,i2,...,ik $i_1,i_2,...,i_k$，所在的列序数为 j1,j2,...,jk $j_1,j_2,...,j_k$，则称

A=(−1)i1+...+ik+j1+...+jkM $$A=(-1)^{i_1+...+i_k+j_1+...+j_k}M$$ 为N的 代数余子式。
定理 1.3.3 在n阶行列式D中任意选取k行（列） (1≤k≤n−1) $(1\le k \le n-1)$，则由这k个行（列）中的一切k阶子式 N1,N2,...,Nt $N_1,N_2,...,N_t$与它们所对应的代数余子式 A1,A2,...,At $A_1,A_2,...,A_t$乘积之和等于D，即 D=N1A1+N2A2+...+NtAt=∑i=1tNiAi $$D=N_1A_1+N_2A_2+...+N_tA_t=\sum _{i=1}^tN_iA_i$$ 其中 t=Ckn $t=C_n^k$

1.4 克莱姆法则

定理 1.4.1（克莱姆法则）如果线性方程组的系数行列式 D≠0 $D\ne 0$，则方程组有唯一解，并且解可以用行列式表示为

x1=D1D,x2=D2D,x3=D3D,...,xn=DnD $$x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}D,x_3=\frac{D_3}D,...,x_n=\frac{D_n}D$$ 其中， Dj(j=1,2,...n)是把系数行列式D中第j列的元素用方程组的常数项代替后所得到的n阶行列式 $D_j(j=1,2,...n)是把系数行列式D中第j列的元素用方程组的常数项代替后所得到的n阶行列式$（该定理证明时的充分性和必要性不是很懂，总是认为证明充分性没有用=-=）
定义 1.4.1 当线性方程组有段的常数项 b1,b2,...,bn $b_1,b_2,...,b_n$不全为零时，称为 非齐次线性方程组；当 b1,b2,...,bn $b_1,b_2,...,b_n$全为零时，称为 齐次线性方程组。
定理 1.4.2若齐次线性方程组 ∑j=1naijxj=0(i=1,2,...,n) $$\sum_{j=1}^na_{ij}x_j=0\qquad (i=1,2,...,n)$$ 的系数行列式 D≠0 $D\ne 0$，则它只有唯一的零解。
推论 若齐次线性方程组有非零解，则系数行列式D=0。

1.5 数域

定义 1.5.1设P是有一些数组成的集合，包含0和1。如果P中任意两个数的和、差、积、商仍在P中，那么称P是一个数域。
定理 1.5.1 设P为任何一个数域，则 Q⊆P $Q\subseteq P$.