《线性代数》——读书笔记2

线性代数》——读书笔记2"/>

《线性代数》——读书笔记2

第二章 矩阵

写在前面的话，当初去北大面试的时候，那老师问了我好些矩阵的知识，我也真是醉醉的，他和我说知道就说，不知道也没关系，我就想问没关系那你还问个什么=-=，现在赶紧好好复习下，省的以后再被问到=_=
话说矩阵这边的东西怎么这么多=-=
相关链接： .htm

2.1 矩阵的概念

定义 2.1.1数域P上 m×n $m\times n$个数 aij(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n) $a_{ij}(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)$排成的m行n列数表称为一个m行n列矩阵，或称为 m×n $m\times n$阶矩阵，简记为 (aij)m×n或(aij) $(a_{ij})_{m\times n}或(a_{ij})$。其中 aij(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n) $a_{ij}(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)$称为这个矩阵中第i行、第j列的元素。当P是实数域时，称矩阵为实矩阵；当P是复数域时，称矩阵为复矩阵

行矩阵、列矩阵
零矩阵
n阶矩阵 及其行列式
单位矩阵——主对角线上为1，其他元素为0；
对角形矩阵、数量矩阵——主对角线上的数相同的对角型矩阵
上（下）三角形矩阵

2.2 矩阵的运算

2.2.1 矩阵的加法与数乘

定义 2.2.1 两个矩阵 A=(aij)m×n,B=(bij)s×t $A=(a_{ij})_{m\times n},B=(b_{ij})_{s\times t}$，如果m=s,n=t,则称A与B是同型矩阵；若同型矩阵的对应元素相等，则称A与B相等，记作A=B。
定义 2.2.2 设矩阵 A=(aij)m×n,B=(bij)m×n $A=(a_{ij})_{m\times n},B=(b_{ij})_{m\times n}$，称矩阵 (aij+bij)m×n $(a_{ij}+b_{ij})_{m\times n}$为矩阵A与B的和，记作

A+B=(aij+bij)m×n $$A+B=(a_{ij}+b_{ij})_{m\times n}$$
定义 2.2.3 设矩阵 A=(aij)m×n,k $A=(a_{ij})_{m\times n},k$是一个数。数k与矩阵A的每个元素相乘后得到的矩阵 (kaij)m×n $(ka_{ij})_{m\times n}$称为数k与矩阵A的 数量乘积，简称为 数乘，记作 kA=Ak=(kaij)m×n $$kA=Ak=(ka_{ij})_{m\times n}$$
同理矩阵的减法，以及这些运算的运算规律可以得出

2.2.2 矩阵的乘法

定义 2.2.4 设矩阵 A=(aij)m×k,B=(bij)k×n.C=(cij)m×n $A=(a_{ij})_{m\times k},B=(b_{ij})_{k\times n}.C=(c_{ij})_{m\times n}$其中

cij=ai1b1j+ai2b2j+...+aikbkj=∑t=1kaitbtj(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n) $$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{ik}b_{kj}=\sum_{t=1}^ka_{it}b_{tj}\qquad (i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)$$ 称矩阵C是A和B的乘积，记作C=AB。
注：只有当左乘矩阵A的列数等于右乘矩阵B的行数时，乘积AB才有意义。
注：乘积矩阵AB的行数等于左乘矩阵A的行数，AB的列数等于右乘矩阵B的列数。
首先，矩阵乘法不满足交换律；其次，矩阵乘法不满足消去率。最后两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。
定义 2.2.5 设A是n阶矩阵，k为正整数，定义k个A的连乘积为A的 k次幂，记作 Ak $A^k$，规定 A0=E $A^0=E$
定理 2.2.1 设A，B均为n阶方阵，k为常数，则 |kA|=kn|A||AB|=|A||B| $$|kA|=k^n|A|\\|AB|=|A||B|$$
推论 设 A1,A2,...,Am $A_1,A_2,...,A_m$是m个n阶方阵，则 |A1A2...Am|=|A1|⋅|A2|⋅...⋅|Am| $$|A_1A_2...A_m|=|A_1|\cdot|A_2|\cdot...\cdot |A_m|$$

2.2.3 矩阵的转置

定义 2.2.6 设 m×n $m\times n$阶矩阵A，将矩阵A的行列互换，而不改变其先后次序得到的 n×m $n\times m$矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为 AT $A^T$（或 A′ $A^{'}$）
矩阵的转置可以看成矩阵的一种运算，这种运算具有如下性质：
1. (AT)T=A; $(A^T)^T=A;$
2. (A+B)T=AT+BT; $(A+B)^T=A^T+B^T;$
3. (kA)T=kAT(k为任意常数); $(kA)^T=kA^T(k为任意常数);$
4. |AT|=|A|(A为方阵); $|A^T|=|A|(A为方阵);$
5. (AB)T=BTAT; $(AB)^T=B^TA^T;$
定义 2.2.7 设 A=(aij) $A=(a_{ij})$是n阶方阵，如果

AT=A,即aij=aji(i,j=1,2,...,n) $$A^T=A,\qquad 即a_{ij}=a_{ji}(i,j=1,2,...,n)$$ 则称A为对称矩阵；如果 AT=−A,即aij=−aji(i,j=1,2,...,n) $$A^T=-A,\qquad 即a_{ij}=-a_{ji}(i,j=1,2,...,n)$$ 则称A为反对称矩阵。

2.3 逆矩阵

2.3.1 逆矩阵的概念

定义 2.3.1 设A是n阶方阵，若有一个n阶方阵B，是的

AB=BA=E $$AB=BA=E$$ 则B称为A的逆矩阵，A称为可逆矩阵，或非奇异矩阵。
$\qquad$ 注：由定义可知，可逆矩阵一定是方阵。
定理 2.3.1 若A是一个n阶可逆矩阵，则它的逆矩阵是唯一的。
定义 2.3.2 设 A=(aij)n×n,Aij $A=(a_{ij})_{n\times n},A_{ij}$为行列式|A|中元素 aij $a_{ij}$的代数余子式，称 A∗=⎡⎣⎢⎢⎢⎢A11A12⋮A1nA21A22⋮A2n………An1An2⋮Ann⎤⎦⎥⎥⎥⎥ $$A^*=\left[ \begin{array} {cccc} A_{11}&A_{21}&\ldots&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&\ldots&A_{n2}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ A_{1n}&A_{2n}&\ldots&A_{nn}\\ \end{array}\right]$$
为矩阵A的 伴随矩阵。
$\quad$设A为n阶矩阵，有 AA∗=⎡⎣⎢⎢⎢⎢a11a21⋮an1a12a22⋮an2………a1na2n⋮ann⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢A11A12⋮A1nA21A22⋮A2n………An1An2⋮Ann⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢|A|0⋮00|A|⋮0………00⋮|A|⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥=|A|E $$AA^*= \left[ \begin{array} {cccc} a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}\\ \end{array}\right] \left[ \begin{array} {cccc} A_{11}&A_{21}&\ldots&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&\ldots&A_{n2}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ A_{1n}&A_{2n}&\ldots&A_{nn}\\ \end{array}\right]= \left[ \begin{array} {cccc} |A|&0&\ldots&0\\ 0&|A|&\ldots&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&\ldots&|A|\\ \end{array}\right]=|A|E$$
同理 A∗A=|A|E $A*A=|A|E$,于是得到 AA∗=A∗A=|A|E $$AA^*=A^*A=|A|E$$
定理 2.3.2 n阶矩阵A可逆的充分必要条件是 |A|≠0 $|A|\ne 0$，且A可逆时，有 A−1=1|A|A∗ $$A^{-1}=\frac 1 {|A|}A^*$$
注：提供了求可逆矩阵的逆矩阵的公式。它主要用于理论证明、计算介绍阶数较低的矩阵以及一些特殊矩阵的逆矩阵
推论 设A与B都是n阶方阵，若AB=E，则A，B都可逆，并且 A−1=B,B−1=A $A^{-1}=B,B^{-1}=A$

可逆矩阵的性质
1. 若A可逆，则 A−1 $A^{-1}$可逆，且 (A−1)−1=A $(A^{-1})^{-1}=A$
2. 若n阶矩阵A，B都可逆，则AB可逆，且

(AB)−1=B−1A−1 $$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$$
3. 若A可逆，则 |A−1|=|A|−1 $|A^{-1}|=|A|^{-1}$
4. 若A可逆，则 (AT)−1=(A−1)T $(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$
5. 若A可逆，数 k≠0 $k\ne 0$，则 (kA)−1=1kA−1⋆ $(kA)^{-1}=\frac 1 kA^{-1}\quad \star$
6. 若A可逆，且AB=O，则B=O 说明一个为可逆矩阵时，另一个矩阵必为零矩阵
7. 若A可逆，且AB=AC，则B=C 说明，对于可逆矩阵而言，矩阵乘法消去律成立

2.3.2 正交矩阵

定义 2.3.3 设A为实数域R上的方阵，如果他满足 AAT=ATA=E $AA^T=A^TA=E$，则称A为正交矩阵。
定理 2.3.3 实数域R上的方阵A为正交矩阵的充要条件是 A−1=AT $A^{-1}=A^T$。

正交矩阵的性质
1. 若A为正交矩阵，则 |A|=1或|A|=−1 $|A|=1或|A|=-1$
2. 正交矩阵的逆矩阵及转置矩阵仍为正交矩阵
3. 若A,B是同阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵
4. 正交矩阵的每行（列）元素的平方和等于1，不同两行（列）的对应元素乘积之和等于0

2.4 分块矩阵（了解）

2.4.1 分块矩阵的概念

定义 2.4.1 设A是一个矩阵，用贯穿于A的纵线和横线按某种需要将其划分成若干个阶数较低的矩阵，这种矩阵称为A的子块或子矩阵。以这些子块为元素构成的矩阵称为A的分块矩阵。

2.4.2 分块矩阵的运算

1. 分块矩阵的加法、数乘与转置
   分块矩阵是同型矩阵，并且每个子块也是同型矩阵。加法、数乘和转置对分块矩阵进行之后对每个块也要进行相同的运算。
2. 分块矩阵的乘法
   设矩阵 A=(aij)m×s,B=(bij)s×n $A=(a_{ij})_{m\times s},B=(b_{ij})_{s\times n}$，用分块矩阵计算A，B的成绩AB时，要使Ade列的分法与B的行的分法一致，这样确保块间的乘法也要意义。
3. 准对角型矩阵
   定义 2.4.2 设A为n阶方阵，如果他的分块矩阵具有如下形式：
   A=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢A1A2⋱As⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥ $$A=\left [ \begin{array}{cccc} A_1&&&\\&A_2&&\\ &&\ddots&\\&&&A_s \end{array} \right]$$ 其中， As(i=1,2,...,s)为n阶方阵，∑si=1ni=n,则称A为准对角型矩阵 $A_s(i=1,2,...,s)为n阶方阵，\sum _{i=1}^s n_i =n,则称A为准对角型矩阵$

两个n阶准对角型矩阵（子块也为同阶方阵）A,B，有如下性质：
1. A+B为对应子块相加
2. AB为对应子块相乘
3. |A|=|A1||A2|...|As|; $|A|=|A_1||A_2|...|A_s|;$
4.

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢A1A2⋱As⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥−1=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢A−11A−12⋱A−1s⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢As...A2A1⎤⎦⎥⎥⎥−1=⎡⎣⎢⎢⎢⎢A−11A−12...A−1s⎤⎦⎥⎥⎥⎥ $$\left [ \begin{array}{cccc} A_1&&&\\&A_2&&\\ &&\ddots&\\&&&A_s \end{array} \right]^{-1}=\left [ \begin{array}{cccc} A_1^{-1}&&&\\&A_2^{-1}&&\\ &&\ddots&\\&&&A_s^{-1} \end{array} \right]\\ \left [ \begin{array}{cccc} &&&A_1\\&&A_2&\\ &{\mathinner{\mkern2mu\raise1pt\hbox{.}\mkern2mu\raise4pt\hbox{.}\mkern2mu\raise7pt\hbox{.}\mkern1mu}}&&\\A_s&&& \end{array} \right]^{-1}=\left [ \begin{array}{cccc} &&&A_s^{-1}\\ &&{\mathinner{\mkern2mu\raise1pt\hbox{.}\mkern2mu\raise4pt\hbox{.}\mkern2mu\raise7pt\hbox{.}\mkern1mu}}&\\ &A_2^{-1}\\A_1^{-1}&&& \end{array} \right]$$

2.5 初等变换与初等矩阵

2.5.1 矩阵的初等变换

定义 2.5.1 矩阵A的下列变换称为它的初等行（列）变换：互换、倍乘、倍加。
定义 2.5.2 如果矩阵A经过有限次初等变换化为矩阵B，则称A与B等价，记为 A≅B $A\cong B$，或 A→B $A\to B$。
等价的性质
1. 自反性 A≅A $A\cong A$
2. 对称性 若 A≅B $A\cong B$，则 B≅A $B\cong A$
3. 传递性 若 A≅B,B≅C $A\cong B,B\cong C$，则 A≅C $A \cong C$
具有以上三种基本性质的关系，称为等价关系
定义 2.5.3 如果矩阵A满足下列条件：
1. 若有零行，则零行全在矩阵A的下方；
2. A的各费领航的第一个非零元素的列序数小于下一行中第一个非零元素的列序数，则称A为行阶梯形矩阵，或阶梯形矩阵。
如果满足上述条件外，还满足：各非零行的第一个非零元素均为1，所在列的其他元素都为零，则称该矩阵为简化阶梯形矩阵。
定理 2.5.1 任何非零矩阵都可以通过初等行变换化为阶梯形。
定理 2.5.2 任意非零矩阵 A=(aij)m×n $A=(a_{ij})_{m\times n}$都与他的标准形等价，即存在矩阵 (ErOOO)m×n $\left ( \begin{array}{cc}E_r& O\\O&O \end{array}\right)_{m\times n}$，使 A≅(ErOOO)m×n $A\cong \left( \begin{array} {cc} E_r&O\\O&O \end{array}\right)_{m\times n}$。其中, Er $E_r$为r阶单位矩阵， 1≤r≤min{m,n} $1\le r \le min\{m,n\}$。

2.5.2 初等矩阵

定义 2.5.4 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。即：互换、倍乘、倍加初等矩阵。
初等矩阵的性质如下：
1. 初等矩阵的转置矩阵仍为同类型的初等矩阵；
2. 初等矩阵都是可逆矩阵；
3. 初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，且

E−1(i,j)=E(i,j),E−1(i(k))=E(i(1k)),E−1(i,j(k))=E(i,j(−k)) $$E^{-1}(i,j)=E(i,j),\qquad E^{-1}(i(k))=E(i(\frac 1 k)),\qquad E^{-1}(i,j(k))=E(i,j(-k))$$
定理 2.5.3 设A是一个 m×n $m \times n$阶矩阵，对A作一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A作一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。（左乘行变，右乘列变）
定理 2.5.4 m×n $m\times n$阶矩阵A与B等价 ⇔ $\Leftrightarrow$有m阶初等矩阵 P1,P2,...,Ps $P_1,P_2,...,P_s$与n阶初等矩阵 Q1,Q2,...,Qt $Q_1,Q_2,...,Q_t$使得 Ps...P2P1AQ1Q2...Qt=B $$P_s...P_2P_1AQ_1Q_2...Q_t=B$$

若记 P=Ps...P2P1,Q=Q1Q2...Qt, $P=P_s...P_2P_1,Q=Q_1Q_2...Q_t,$则P为m阶可逆矩阵，Q为n阶可逆矩阵，于是：
推论 1 m×n $m\times n$阶矩阵A与B等价 ⇔ $\Leftrightarrow$存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q使得

PAQ=B $$PAQ=B$$
推论 2 对于任意非零 m×n $m\times n$阶矩阵A，必存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q，使得 PAQ=(ErOOO)——A的标准形 $$PAQ=\left ( \begin{array}{cc} E_r&O\\O&O \end{array}\right)——A的标准形$$
推论 3 若A为n阶可逆矩阵，则 A≅E $A\cong E$
推论 4 n阶矩阵A可逆的充分必要条件是它可以表示成有限个初等矩阵的乘积。

2.5.3 分块矩阵的初等变换

同样的三种分块初等矩阵。在此不再详述。

2.6 矩阵的秩

2.6.1 矩阵的秩的概念

定义 2.6.1 在矩阵A中，任取k行、k列 (1≤k≤min{m,n}) $(1\le k\le min\{m,n\})$，由这些行列交叉处的 k2 $k^2$个元素按原来的顺序构成的k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式。
定义 2.6.2 若在 m×n $m\times n$阶矩阵A中，有一个r阶子式不为零，而所有的r+1阶子式（若存在）都为零，则称r为矩阵A的秩，记为 R(A)=r $R(A)=r$。
定理 2.6.1 n阶方阵A的秩为n的充分必要条件是A为可逆矩阵。
矩阵可逆，非奇异，满秩是三个相互等价的概念。

2.6.2 用初等变换求矩阵的秩

定理 2.6.2 初等变换不改变矩阵的秩。
推论 1 两个同型矩阵A与B等价的充分必要条件是 R(A)=R(B) $R(A)=R(B)$
推论 2 设A为 m×n $m\times n$阶矩阵，P和Q分别为m阶和n阶可逆矩阵，则

R(A)=R(PA)=R(AQ)=R(PAQ) $$R(A)=R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)$$

定理 2.5.2告诉我们，任意非零矩阵A都可以经过有限次初等变换化为标准形 (ErOOO) $\left ( \begin{array}{cc}E_r&O\\O&O\end{array}\right)$。
由矩阵等价的对称性和传递性以及定理2.6.2的推论1可知，它的标准形是唯一的，且R（A）=r