同济数学之行列式

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同济数学之行列式

同济数学五版

一、行列式

1.二阶三阶行列式

求解下面的 x1,x2 x 1 , x 2 $x_1,x_2$

{a11x1+a12x2=b1a21x1+a22x2=b2(1) (1) { a 11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 $$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \tag{1} \end{cases}$$

x1=b1a22−a12b2a11a22−a12a21,x1=b1a22−a12b2a11a22−a12a21 x 1 = b 1 a 22 − a 12 b 2 a 11 a 22 − a 12 a 21 , x 1 = b 1 a 22 − a 12 b 2 a 11 a 22 − a 12 a 21 $$x_1 = \frac{b_1a_{22} - a{12}b_2}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}, x_1 = \frac{b_1a_{22} - a{12}b_2}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}$$
可以看出其中分母 a11a22−a12a21 a 11 a 22 − a 12 a 21 $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$是由方程组的四个系数确定，把这四个系数按方程组中位置排成两行两列：
a11a21a12a22(2) (2) a 11 a 12 a 21 a 22 $$\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \\\end{matrix} \tag{2}$$
表达式 a11a22−a12a21 a 11 a 22 − a 12 a 21 $a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$称为数表（2）所确定的二阶行列式，并记作
∣∣∣a11a21a12a22∣∣∣(3) (3) | a 11 a 12 a 21 a 22 | $$\left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \end{matrix} \right| \tag{3}$$
对角线法则只适合二阶与三阶行列式，四阶及更高阶性质不使用；

2.全排列及其逆序数

全排列：对于n个不同元素排成一列，叫做这n个元素的全排列；n个不同元素的所有排列种数有 Pn=n! P n = n ! $P_n = n!$

对于n个不同的元素，先规定各个元素之间有一个标准顺序（如可以规定由小到大标准排序），于是这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数
逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的叫做偶排列。
设n个元素为1到n这n个自然数，并规定由小到大为标准次序。设：

p1p2...pn p 1 p 2 . . . p n $$p_1p_2...p_n$$
为这n个自然数的一个排列，考虑元素 pi(i=1,2,...,n) p i ( i = 1 , 2 , . . . , n ) $p_i(i = 1,2,...,n)$,如果比 pi p i $p_i$大的且排在 pi p i $p_i$前面的元素有t个，就是 pi p i $p_i$ 这个元素的逆序数是t全体元素的逆序数总和
t=t1+t2+...+tn=∑t=1nti t = t 1 + t 2 + . . . + t n = ∑ t = 1 n t i $$t = t_1 + t_2 + ...+t_n = \sum_{t=1}^nt_i$$
就是这个排列的逆序数。

3.n阶行列式定义

三阶行列式可以写成

D=∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31=∑(−1)′a1p1a2p2a3p3 D = | a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 | = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 − a 13 a 22 a 31 = ∑ ( − 1 ) ′ a 1 p 1 a 2 p 2 a 3 p 3 $$D= \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33} \\\end{matrix} \right| \\ = a_{11}a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+ a_{13} a_{21}a_{32} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21}a_{33} - a_{13}a_{22}a_{31}\\ = \sum(-1)'a_{1{p_1}}a_{2{p_2}}a_{3{p_3}}$$
对n阶行列式同理；简单记作 det(aij),aij d e t ( a i j ) , a i j $det(a_{ij}),a_{ij}$为行列式D的（i,j）元。
主对角线以下（上）的元素都为0的行列式叫做上（下）三角形行列式，它的值与对角行列式一样。

4.对换

5.行列式性质

性质1　行列式与它的转置行列式相等。
性质2　互换行列式的两行(列)，行列式变号。
推论　如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零。
性质3　行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。
推论　行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
性质4　行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零。
性质5　若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，例如第j列的元素都是两数之和：

6.行列式展开

低阶行列式比高阶行列式计算简便，因此可以通过低阶行列式来表示高阶行列式；这要知道余子式和代数余子式

在n阶行列式中，把元素 aij a i j $a_{ij}$所在第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素 aij a i j $a_{ij}$的余子式，记作 Mij M i j $M_{ij}$ ;记 Aij=(−1)i+jMij A i j = ( − 1 ) i + j M i j $A_{ij}= (-1)^{i+j}M_{ij}$, 叫做元素 aij a i j $a_{ij}$的代数余子式。
如四阶行列式：

D=∣∣∣∣∣∣a11a21a31a41a12a22a32a42a13a23a33a43a14a24a34a44∣∣∣∣∣∣ D = | a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 | $$D= \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{matrix} \right|$$
中 a32 a 32 $a_{32}$的余子式和代数余子式为
M32=∣∣∣∣a11a21a41a13a23a43a14a24a44∣∣∣∣A32=(−1)3+2M32=−M32 M 32 = | a 11 a 13 a 14 a 21 a 23 a 24 a 41 a 43 a 44 | A 32 = ( − 1 ) 3 + 2 M 32 = − M 32 $$M_{32}= \left| \begin{matrix} a_{11} & a_{13} & a_{14} \\a_{21} & a_{23} & a_{24} \\a_{41} & a_{43} & a_{44} \end{matrix} \right| \\A_{32} = (-1)^{3+2}M_{32} = -M_{32}$$

原理，公式

引理 一个n阶行列式，如果其中第i行所有元素除 aij a i j $a_{ij}$外都为零，那么这行列式等于 aij a i j $a_{ij}$与它的代数余子式的乘积。 D=aijAij D = a i j A i j $D=a_{ij}A_{ij}$
定理3.1 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。

推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零？？

7.克拉默法则

含有n个未知数 x1,x2,x3...,xn x 1 , x 2 , x 3 . . . , x n $x_1,x_2,x_3...,x_n$的n个线性方程组：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2......an1x1+an2x2+...+annxn=bn(11) (11) { a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = b 2 . . . . . . a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n $$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ...+a_{1n}x_n= b_1 \\a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ...+a_{2n}x_n = b_2\\ ......\\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + ...+a_{nn}x_n = b_n \tag{11} \end{cases}$$
可以用n阶行列式表示
克拉默法则 ：如果线性方程组(11)的系数行列式D≠0，即
D=∣∣∣∣a11;;an1............a1n;;ann∣∣∣∣ D = | a 11 . . . . a 1 n ; ; . . . . ; ; a n 1 . . . . a n n | $$D= \left| \begin{matrix} a_{11} & ....& a_{1n} \\;; & ....& ;; \\a_{n1} & .... & a_{nn} \end{matrix} \right|$$
则(11)一定有解，且解是唯一的。
x1=D1D,x2=D2D,...,xn=DnD x 1 = D 1 D , x 2 = D 2 D , . . . , x n = D n D $x_1 = \frac{D_1}{D},x_2 = \frac{D_2}{D},...,x_n = \frac{D_n}{D}$

“齐次”从字面上解释是“次数相等”的意思，是微积分中一个比较常用的概念，英文表达是homogeneous。
如 ax2+bxy+cy2 a x 2 + b x y + c y 2 $ax^2+bxy+cy^2$这个里面都是2次多项式所以也是齐次的。
定理4.1 如果线性方程组(1)的系数行列式D≠0，则(1)一定有解，且解是唯一的。
定理4.1 如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。
定理4.2 如果齐次线性方程组(2)的系数行列式D≠0，则齐次线性方程组(2)没有非零解。
定理4.2 如果齐次线性方程组(2)有非零解，则它的系数行列式必为零。