【090】深度学习读书笔记：P30证明对角方阵的行列式等于方阵对角元素的乘积

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【090】深度学习读书笔记：P30证明对角方阵的行列式等于方阵对角元素的乘积

求证：对角方阵的行列式等于方阵对角元素的乘积

证明：
不妨设A是n阶对角方阵。n是正整数，并且n大于等于2 。A 的行列式是 |A|。
令 a_ij表示方阵 A 中的第 i 行，第 j 列的元素。显然，

令 A_ij 表示元素 a_ij 的代数余子式。
题目可以描述成求证 |A| = a₁₁a₂₂···a_nn

存在两种情况。1. A的对角线元素至少有一个为0 。2. A的对角线元素全都不为0 。

第一种情况，A的对角线元素至少有一个为0。

设这个等于0的对角线元素是第 r 行，第 r 列，用 a_rr 表示。显然 1 ≤ r ≤ n，并且 r 是正整数。因为 A 是对角方阵，所以A的第 r 行全都是0 。

根据《线性代数》P13 定理6，行列式的展开定理：一个n阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D=a_i1A_i1 + a_i2A_i2 + … + a_inA_in      (i=1, 2, ···, n)
或 D=a_1jA_1j + a_2jA_2j + … + a_njA_nj      (j=1, 2, ··· , n)

根据行列式的展开定理，可得

|A| = a_r1A_r1 + a_r2A_r2 + … + a_{r n}A_{r n}

因为A的第 r 行全都是0 ，所以 |A| = 0 。

因为 a_rr = 0，所以 a₁₁a₂₂···a_nn = 0

所以 |A| = a₁₁a₂₂···a_nn

第二种情况，A的对角线元素全都不为0。

我先复习《线性代数》P13 定理5：

一个 n 阶行列式，若其中第 i 行所有元素除 a_ij 外都为零，则这个行列式等于 a_ij 与它的代数余子式的乘积，即 D=a_ijA_ij

下文称这个定理为“定理5”。

利用数学归纳法证明。
当 n=2 时，可以如下表示A

|A|=a₁₁a₂₂。

当 n=3 时，可以如下表示A

a₃₃ 的余子式是 M₃₃，

A 的第 3 行元素除了 a₃₃ 外都是零，那么根据定理5，
|A| = a₃₃A₃₃ = a₃₃(-1)³⁺³M₃₃ = a₃₃M₃₃

由 n=2 时的推导，可知 M₃₃ = a₁₁a₂₂
所以当 n=3 时，|A| = a₁₁a₂₂a₃₃

当 n=k 时，可以如下表示A

|A| = a₁₁a₂₂··· a_kk

当 n=k+1 时，可以如下表示A

a_k+1，k+1 的余子式是 M_k+1，k+1

A 的第 k+1 行元素除了 a_k+1，k+1 外都是零，那么根据定理5，

|A| = a_k+1，k+1A_k+1，k+1

= a_k+1，k+1(-1)^k+1+k+1M_k+1，k+1

= a_k+1，k+1(-1)^2k+2M_k+1，k+1

= a_k+1，k+1M_k+1，k+1

由 n=k 时的推导，可知 M_k+1，k+1 = a₁₁a₂₂··· a_kk

所以当 n=k+1 时，|A| = a₁₁a₂₂ ··· a_kka_k+1，k+1

通过数学归纳法，可证 |A| = a₁₁a₂₂···a_nn

综上所述，可以证明: 对角方阵的行列式等于方阵对角元素的乘积。