stein算法求最大公约数c语言,Stein算法：求最大公约数的另一种算法

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stein算法求最大公约数c语言,Stein算法：求最大公约数的另一种算法

欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法，无论是从理论，还是从效率上都是很好的。但是它有一个致命的缺陷，这个缺陷只有在很大的素数时才会显现出来。

考虑现在的硬件平台，一般整数最多也就是64位， 对于这样的整数，计算两个数值就的模很简单的。对于字长为32位的平台，计算两个不超过32位的整数的模，只需要一个指令周期，而计算64位以下的整数模，也不过几个周期而已。但是对于更大的素数，这样的计算过程就不得不由用户来设计，为了计算两个超过64位的整数的模，用户也许不得不采用类似于多位除法手算过程中的试商法，这个过程不但复杂，而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法，要求计算128位以上的素数的情况比比皆是，设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。

Stein算法由J.Stein 1961年提出，这个方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法不同的是，Stein算法只有整数的移位和加减法，这对于程序设计者是一个福音。

为了说明Stein算法的正确性，首先必须注意到以下结论：

gcd(a, a) = a， 也就是一个数和他自己的公约数是其自身。

gcd(ka, kb) = k * gcd(a, b)，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换，特殊的，当k=2时，说明两个偶数的最大公约数比如能被2整除。

有了上述规律就可以给出Stein算法如下：

如果A=0，B是最大公约数，算法结束

如果B=0，A是最大公约数，算法结束

设置A1 = A、B1=B和C1 = 1

如果An和Bn都是偶数，则An+1 =An /2，Bn+1 =Bn /2，Cn+1 =Cn *2(注意，乘2只要把整数左移一位即可，除2只要把整数右移一位即可)

如果An是偶数，Bn不是偶数，则An+1 =An /2，Bn+1 =Bn ，Cn+1 =Cn (很显然啦，2不是奇数的约数)

如果Bn是偶数，An不是偶数，则Bn+1 =Bn /2，An+1 =An ，Cn+1 =Cn (很显然啦，2不是奇数的约数)

如果An和Bn都不是偶数，则An+1 =|An -Bn|，Bn+1 =min(An,Bn)，Cn+1 =Cn

n++，转4

这个算法的原理很显然，所以就不再证明了。现在考察一下该算法和欧几里德方法效率上的差别。

给出一个C++的实现：

int Gcd(int a, int b)

{

if(a == 0) return b;

if(b == 0) return a;

if(a % 2 == 0 && b % 2 == 0) return 2 * gcd(a >> 1, b >> 1);

else if(a % 2 == 0) return gcd(a >> 1, b);

else if(b % 2 == 0) return gcd(a, b >> 1);

else return gcd(abs(a - b), Min(a, b));

}

Stein算法的python实现如下：

def gcd_Stein(a, b):

if a < b:

a, b = b, a

if (0 == b):

return a

if a % 2 == 0 and b % 2 == 0:

return 2 * gcd_Stein(a/2, b/2)

if a % 2 == 0:

return gcd_Stein(a / 2, b)

if b % 2 == 0:

return gcd_Stein(a, b / 2)

return gcd_Stein((a + b) / 2, (a - b) / 2)

考虑欧几里德算法，最恶劣的情况是，每次迭代a = 2b -1,这样，迭代后，r= b-1。如果a小于2N，这样大约需要 4N次迭代。而考虑Stein算法，每次迭代后，显然AN+1BN+1≤ ANBN/2，最大迭代次数也不超过4N次。也就是说，迭代次数几乎是相等的。但是，需要注意的是，对于大素数，试商法将使每次迭代都更复杂，因此对于大素数Stein将更有优势。