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悬线法——有套路的DP
例题 P1169 [ZJOI2007]棋盘制作
题目描述
国际象棋是世界上最古老的博弈游戏之一,和中国的围棋、象棋以及日本的将棋同享盛名。据说国际象棋起源于易经的思想,棋盘是一个8×88 \times 88×8大小的黑白相间的方阵,对应八八六十四卦,黑白对应阴阳。
而我们的主人公小Q
,正是国际象棋的狂热爱好者。作为一个顶尖高手,他已不满足于普通的棋盘与规则,于是他跟他的好朋友小W
决定将棋盘扩大以适应他们的新规则。
小Q
找到了一张由N×MN \times MN×M个正方形的格子组成的矩形纸片,每个格子被涂有黑白两种颜色之一。小Q
想在这种纸中裁减一部分作为新棋盘,当然,他希望这个棋盘尽可能的大。
不过小Q
还没有决定是找一个正方形的棋盘还是一个矩形的棋盘(当然,不管哪种,棋盘必须都黑白相间,即相邻的格子不同色),所以他希望可以找到最大的正方形棋盘面积和最大的矩形棋盘面积,从而决定哪个更好一些。
于是小Q
找到了即将参加全国信息学竞赛的你,你能帮助他么?
输入输出格式
输入格式:
包含两个整数NNN和MMM,分别表示矩形纸片的长和宽。接下来的NNN行包含一个N ×MN \ \times MN ×M的010101矩阵,表示这张矩形纸片的颜色(000表示白色,111表示黑色)。
输出格式:
包含两行,每行包含一个整数。第一行为可以找到的最大正方形棋盘的面积,第二行为可以找到的最大矩形棋盘的面积(注意正方形和矩形是可以相交或者包含的)。
审题可以发现,我们所以寻找的最大矩形其实已经含有正方形,所以不需要单独去寻找,但是当时我只想到如何DP求正方形,所以分开写了;
这里就引进一个概念——悬线法
用途:
求满足条件的最大矩形或正方形
方法:
通过不断更新矩形左右端点所能到达的距离(1 : 初始化;2:dp中更新)
定义:
left [ i ] [ j ] 数组更新包含第(i,j)点的最左能到达距离;
right [ i ] [ j ] 数组更新包含第(i,j)点的最右能到达距离;
up [ i ] [ j ] 数组更新包含第(i,j)点的向上能到达的距离;
PS:为什么没有下?因为down可以在dp中用up代替;
步骤:
1:初始化 left 和 right 数组
for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=m-1;j>0;j--){if(maps[i][j]!=maps[i][j+1])//判断条件 right[i][j]=right[i][j+1];}//右端点从右往左更新 for(int j=2;j<=m;j++){if(maps[i][j-1]!=maps[i][j])left[i][j]=left[i][j-1];}//左端点从左往右更新 }
2:DP更新 up 数组和 left,right 数组
for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){if(i!=1&&maps[i][j]!=maps[i-1][j]){left[i][j]=max(left[i][j],left[i-1][j]);//由上更新 right[i][j]=min(right[i][j],right[i-1][j]);//左取大,右取小 up[i][j]=up[i-1][j]+1;}int a=right[i][j]-left[i][j]+1;int b=min(a,up[i][j]);ans1=max(ans1,b*b);//正方形做法2 ans2=max(ans2,a*up[i][j]);}}
思考:该方法的正确性,因为每个点都取到了一次,每次选取最优解,则正解定会取到
完整Code(附有正方形另类做法)
#include<cstdio> #define maxn 2007 using namespace std; int n,m,maps[maxn][maxn],ans1; int f1[maxn][maxn],ans2,up[maxn][maxn]; int left[maxn][maxn],right[maxn][maxn]; int min(int a,int b){return a<b?a:b;} int max(int a,int b){return a>b?a:b;}void cube(){for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){int x=maps[i][j];if(x==maps[i-1][j]||x==maps[i][j-1]||x!=maps[i][j]){f1[i][j]=1;}else {f1[i][j]=min(f1[i-1][j],min(f1[i][j-1],f1[i-1][j-1]))+1;}ans1=max(f1[i][j],ans1);}}ans1*=ans1; }int main(){scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){scanf("%d",&maps[i][j]);left[i][j]=j,right[i][j]=j;up[i][j]=1;}}cube();//正方形的做法1 for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=m-1;j>0;j--){if(maps[i][j]!=maps[i][j+1])//判断条件 right[i][j]=right[i][j+1];}//右端点从右往左更新 for(int j=2;j<=m;j++){if(maps[i][j-1]!=maps[i][j])left[i][j]=left[i][j-1];}//左端点从左往右更新 }for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){if(i!=1&&maps[i][j]!=maps[i-1][j]){left[i][j]=max(left[i][j],left[i-1][j]);//由上更新 right[i][j]=min(right[i][j],right[i-1][j]);//左取大,右取小 up[i][j]=up[i-1][j]+1;}int a=right[i][j]-left[i][j]+1;int b=min(a,up[i][j]);ans1=max(ans1,b*b);//正方形做法2 ans2=max(ans2,a*up[i][j]);}}printf("%d\n%d\n",ans1,ans2);return 0; }
总结与反思;正确灵活使用,可以快速解决问题;
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