集合序列的上极限和下极限

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集合序列的上极限和下极限

设{ A n , n ≥ 1 {A_n,n \ge 1} An​,n≥1 }，求 ⋂ n = 1 ∞ ⋃ k = n ∞ A k \bigcap\limits_{n=1}^\infty \bigcup\limits_{k=n}^\infty A_k n=1⋂∞​k=n⋃∞​Ak​ 及 ⋃ n = 1 ∞ ⋂ k = n ∞ A k \bigcup\limits_{n=1}^\infty \bigcap\limits_{k=n}^\infty A_k n=1⋃∞​k=n⋂∞​Ak​，
其中 A 1 = { 1 , a } A_1=\left\{1,a \right\} A1​={1,a}， A 2 = { 0 , b } A_2=\left\{0,b \right\} A2​={0,b}， A 3 = { 1 , b } A_3=\left\{1,b \right\} A3​={1,b}， A 4 = { 0 , b } A_4=\left\{0,b \right\} A4​={0,b}， A 5 = { 1 , b } ， ⋯ A_5=\left\{1,b \right\} ，\cdots A5​={1,b}，⋯。
解：解法如下：
一、 ⋂ n = 1 ∞ ⋃ k = n ∞ A k \bigcap\limits_{n=1}^\infty \bigcup\limits_{k=n}^\infty A_k n=1⋂∞​k=n⋃∞​Ak​ 的解法是先并再交。
当 n = 1 n=1 n=1时，记 P 1 = ⋃ k = n = 1 ∞ A k = { 0 , 1 , a , b } P_1=\bigcup\limits_{k=n=1}^\infty A_k=\left\{ 0,1,a,b\right\} P1​=k=n=1⋃∞​Ak​={0,1,a,b}，
当 n = 2 n=2 n=2时，记 P 2 = ⋃ k = n = 2 ∞ A k = { 0 , 1 , b } P_2=\bigcup\limits_{k=n=2}^\infty A_k=\left\{ 0,1,b\right\} P2​=k=n=2⋃∞​Ak​={0,1,b}，
⋯ ⋯ \cdots\cdots ⋯⋯
所以， ⋂ n = 1 ∞ ⋃ k = n ∞ A k = P 1 ⋂ P 2 ⋂ P 3 ⋂ ⋯ = { 0 , 1 , b } \bigcap\limits_{n=1}^\infty \bigcup\limits_{k=n}^\infty A_k=P_1\bigcap P_2\bigcap P_3\bigcap\cdots=\left\{ 0,1,b\right\} n=1⋂∞​k=n⋃∞​Ak​=P1​⋂P2​⋂P3​⋂⋯={0,1,b}
若记 lim ⁡ n → ∞ s u p A n = ⋂ n = 1 ∞ ⋃ k = n ∞ A k \lim\limits_{n\rightarrow\infty}supA_n=\bigcap\limits_{n=1}^\infty \bigcup\limits_{k=n}^\infty A_k n→∞lim​supAn​=n=1⋂∞​k=n⋃∞​Ak​
则， lim ⁡ n → ∞ s u p A n = { w ∣ w 属 于 无 穷 多 个 A n } \lim\limits_{n\rightarrow\infty}supA_n=\left\{w|w属于无穷多个A_n\right\} n→∞lim​supAn​={w∣w属于无穷多个An​}

二、 ⋃ n = 1 ∞ ⋂ k = n ∞ A k \bigcup\limits_{n=1}^\infty \bigcap\limits_{k=n}^\infty A_k n=1⋃∞​k=n⋂∞​Ak​ 的解法是先交再并。
当 n = 1 n=1 n=1时，记 Q 1 = ⋂ k = n = 1 ∞ A k = ∅ Q_1=\bigcap\limits_{k=n=1}^\infty A_k=\varnothing Q1​=k=n=1⋂∞​Ak​=∅，
当 n = 2 n=2 n=2时，记 Q 2 = ⋂ k = n = 2 ∞ A k = { b } Q_2=\bigcap\limits_{k=n=2}^\infty A_k=\left\{ b\right\} Q2​=k=n=2⋂∞​Ak​={b}，
⋯ ⋯ \cdots\cdots ⋯⋯
所以， ⋃ n = 1 ∞ ⋂ k = n ∞ A k = Q 1 ⋂ Q 2 ⋂ Q 3 ⋂ ⋯ = { b } \bigcup\limits_{n=1}^\infty \bigcap\limits_{k=n}^\infty A_k=Q_1\bigcap Q_2\bigcap Q_3\bigcap\cdots=\left\{b\right\} n=1⋃∞​k=n⋂∞​Ak​=Q1​⋂Q2​⋂Q3​⋂⋯={b}
若记 lim ⁡ n → ∞ i n f A n = ⋃ n = 1 ∞ ⋂ k = n ∞ A k \lim\limits_{n\rightarrow\infty}infA_n=\bigcup\limits_{n=1}^\infty \bigcap\limits_{k=n}^\infty A_k n→∞lim​infAn​=n=1⋃∞​k=n⋂∞​Ak​
则， lim ⁡ n → ∞ i n f A n = { w ∣ w 至 多 不 属 于 有 限 多 个 A n } \lim\limits_{n\rightarrow\infty}infA_n=\left\{w|w至多不属于有限多个A_n\right\} n→∞lim​infAn​={w∣w至多不属于有限多个An​}

本文的LaTeX代码如下：

设{ ${A_n,n \ge 1}$ }，求$\bigcap\limits_{n=1}^\infty \bigcup\limits_{k=n}^\infty A_k$ 及$\bigcup\limits_{n=1}^\infty \bigcap\limits_{k=n}^\infty A_k$，
其中$A_1=\left\{1,a \right\}$，$A_2=\left\{0,b \right\}$，$A_3=\left\{1,b \right\}$，$A_4=\left\{0,b \right\}$，$A_5=\left\{1,b \right\} ，\cdots$。
解：解法如下：
一、$\bigcap\limits_{n=1}^\infty \bigcup\limits_{k=n}^\infty A_k$ 的解法是先并再交。
当$n=1$时，记$P_1=\bigcup\limits_{k=n=1}^\infty A_k=\left\{ 0,1,a,b\right\}$，
当$n=2$时，记$P_2=\bigcup\limits_{k=n=2}^\infty A_k=\left\{ 0,1,b\right\}$，
$\cdots\cdots$
所以，$\bigcap\limits_{n=1}^\infty  \bigcup\limits_{k=n}^\infty A_k=P_1\bigcap P_2\bigcap P_3\bigcap\cdots=\left\{ 0,1,b\right\}$
若记$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}supA_n=\bigcap\limits_{n=1}^\infty \bigcup\limits_{k=n}^\infty A_k$
则，$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}supA_n=\left\{w|w属于无穷多个A_n\right\}$二、$\bigcup\limits_{n=1}^\infty \bigcap\limits_{k=n}^\infty A_k$ 的解法是先交再并。
当$n=1$时，记$Q_1=\bigcap\limits_{k=n=1}^\infty A_k=\varnothing$，
当$n=2$时，记$Q_2=\bigcap\limits_{k=n=2}^\infty A_k=\left\{ b\right\}$，
$\cdots\cdots$
所以，$\bigcup\limits_{n=1}^\infty  \bigcap\limits_{k=n}^\infty A_k=Q_1\bigcap Q_2\bigcap Q_3\bigcap\cdots=\left\{b\right\}$
若记$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}infA_n=\bigcup\limits_{n=1}^\infty \bigcap\limits_{k=n}^\infty A_k$
则，$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}infA_n=\left\{w|w至多不属于有限多个A_n\right\}$