矩阵乘积态

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矩阵乘积态

首先，任意的复合量子态可以写成上面的基于基底的表述形式，他的系数 ψ \psi ψ实际上构成了一个N阶张量，si代表着第i个子系统的某个基矢，也代表着N阶张量的某一维度。根据上一篇博客提到的N阶张量的TT分解，我们可以把这样的系数矩阵进行分解，，满足TT形式的量子态我们将其称为矩阵乘积态（MPS）。

写成TT形式后，我们可以通过前述截断辅助指标维数的方法来降低某一量子态的参数复杂度。TT形式中间的每一个张量，有一个物理指标（维数为ｄ）和两个辅助指标（维数被截断），总共我们有N个这样的张量，所以参数的复杂度是可求的。显然可见，我们通过这样的方法把参数复杂度从指数级降到了线性级。

但是，这里还存在一个问题，TT分解本质上是对已有的一个张量进行分解，如果我已经知道了这样的一个N阶参数矩阵，所谓的降低复杂度也没有了什么意义。所以，为了绕过指数墙，我们直接假设MPS态，直接求解局部张量。

由于是奇异值分解，所以，U和V都是量子态（归一），由 ∣ ψ > |\psi> ∣ψ>是归一的，可以得到 Λ \Lambda Λ平方和为1（U本身是一组正交归一的量子态，是前K个子系统复合后的系统的一组标准正交基）(其实，U和V的维数都是受到了奇异谱的限制，与相应的子系统的维数没啥关系），所以，设计的这一组U和V满足schmidt分解的要求。

这里的奇异谱在schmidt分解里面又称为纠缠谱，纠缠谱数目的多少称为schmidt数。某种意义上来说，schmidt数反映了两个系统之间的纠缠程度。当且仅当schmidt数等于1时， ψ \psi ψ可写成积状态也就是可分态，两子系统之间不存在纠缠性。另外，由纠缠谱可引伸出纠缠熵的概念。

另一个问题，我们直接设定局部张量，我们怎么知道这样得到的MPS态和真实的量子态之间的误差是多大？

如果我的张量可以写成奇异值分解的形式，我就可以衡量两者之间的误差。

这边是为了凑出奇异值分解的形式，如果要满足奇异值分解，则两边的矩阵应该是酉矩阵。而下方的a,b,c,d条件实际上在TT分解的过程中就应当保持的（在这里可理解成，左边分出了左特征向量矩阵，右边是把右特征向量矩阵分出来了）

对比之前的TT分解图，这里的分解是有一定的区别的（在新增加的对角阵的右边）
在a,b,c,d条件下，大家可以自行证明 U × U ∗ U\times U^* U×U∗= I I I（证明的时候式子比较长，缩并的维度也比较多，要仔细一点），所以如果我们能把量子态写成这样的形式，同时满足a,b,c,d,e条件，那么这样的形式我们就可以称为MPS态的SVD形式。联系前面所提的schmidt分解的内容，这样SVD形式中的 Λ \Lambda Λ反映了前k个子系统与其余系统的纠缠关系。