Mumford

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Mumford

数学视角研究图片，我们认为 images are piecewise smooth functions，图片是分段连续函数，这符合我们生活直观，生活中绝大多数图片而言，其大部分的像素是连续的。

图片中不连续的像素，我们称之为edges。

图片降噪自然是希望使得图片连续的部分更连续，同时希望这样处理的过程中不伤害edges。

最容易想到的减噪泛函是Tikhonov Regularization。

F ( u ) = ∫ ∣ R u − u 0 ∣ 2 d x + μ ∫ ∣ ∇ u ∣ 2 d x F(u)=\int \vert Ru-u_0\vert^2 dx +\mu\int \vert \nabla u\vert^2 dx F(u)=∫∣Ru−u0​∣2dx+μ∫∣∇u∣2dx

To reach the minimizer u u u of F ( u ) F(u) F(u), we let F ( u + v ) > F ( u ) F(u+v) > F(u) F(u+v)>F(u) for all v v v
then we have
< R u − f , R v > − μ < ∇ u , ∇ v > = 0 <Ru-f,Rv>-\mu<\nabla u,\nabla v>=0 <Ru−f,Rv>−μ<∇u,∇v>=0and this is equivalent to
< R ∗ R u − f , v > − μ < Δ u , v > = 0 <R^*Ru-f,v>-\mu<\Delta u, v>=0 <R∗Ru−f,v>−μ<Δu,v>=0理论上说我们希望对上式数值解，问题是 R ∗ R R^*R R∗R数值上不会处理，即使是有限维线性空间 R ∗ R R^*R R∗R退化为矩阵 A T A A^TA ATA，也面临数值不稳定的问题

我们取 R = 恒 等 映 射 R=恒等映射 R=恒等映射（这样可以PDE数值解）做实验。

可见 F ( u ) = ∫ ∣ u − u 0 ∣ 2 d x + μ ∫ ∣ ∇ u ∣ 2 d x F(u)=\int \vert u-u_0\vert^2 dx +\mu\int \vert \nabla u\vert^2 dx F(u)=∫∣u−u0​∣2dx+μ∫∣∇u∣2dx对图片过分的降噪了，这样问题是oversmoothing，破坏了edges。

图片处理中Mumford_Shah模型是经典的模型
E M S ( u , Γ ) = v L e n g t h ( Γ ) + λ ∫ Ω ∣ u − u 0 ∣ 2 d x + μ ∫ Ω Γ ∣ ∇ u ∣ 2 d x E_{\mathrm{MS}}(u, \Gamma)=v \mathrm{Length}(\Gamma)+\lambda \int_{\Omega}\left|u-u_{0}\right|^{2} \mathrm{d} x+\mu \int_{\Omega \Gamma}|\nabla u|^{2} \mathrm{d} x EMS​(u,Γ)=vLength(Γ)+λ∫Ω​∣u−u0​∣2dx+μ∫ΩΓ​∣∇u∣2dx其中 Γ \Gamma Γ是edges，也就是图像的轮廓。

数学上处理这样的模型requires complicates Mathematical techniques

然而编程上我们可以考虑这样一种思路：

首先勾勒出图片的edges

然后优化 E Γ ( u ) = λ ∫ Ω ∣ u − u 0 ∣ 2 d x + μ ∫ Ω Γ ∣ ∇ u ∣ 2 d x E_{\Gamma}(u)=\lambda \int_{\Omega}\left|u-u_{0}\right|^{2} \mathrm{d} x+\mu \int_{\Omega \Gamma}|\nabla u|^{2} \mathrm{d} x EΓ​(u)=λ∫Ω​∣u−u0​∣2dx+μ∫ΩΓ​∣∇u∣2dx

可以看到一定程度上解决了oversmoothing的问题