组合数学"/>
bzoj 4591: [Shoi2015]超能粒子炮·改 Lucas定理+组合数学
题意
曾经发明了脑洞治疗仪&超能粒子炮的发明家SHTSC又公开了他的新发明:超能粒子炮·改–一种可以发射威力更加强大的粒子流的神秘装置。超能粒子炮·改相比超能粒子炮,在威力上有了本质的提升。它有三个参数n,k。它会向编号为0到k的位置发射威力为C(n,k) mod 2333的粒子流。现在SHTSC给出了他的超能粒子炮·改的参数,让你求其发射的粒子流的威力之和模2333。
k<=n<=10^18,t<=10^5
分析
题目就是要求 (∑ki=0Cin)mod2333 。由于模数很小不难想到Lucas定理 Cmnmodp=Cm/pn/p∗Cmmodpnmodp 。
按照i/p来分类,要求的式子就变成了
至于 ∑i=0k/p−1Cin/p 可以递归处理,其余两个 ∑ 直接预处理即可。
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;typedef long long LL;const int MOD=2333;int c[MOD][MOD],s[MOD][MOD];int get_c(LL n,LL m)
{if (n<m) return 0;if (!n) return 1;return get_c(n/MOD,m/MOD)*c[n%MOD][m%MOD]%MOD;
}int solve(LL n,LL k)
{if (k<0) return 0;if (!n) return 1;return (solve(n/MOD,k/MOD-1)*s[n%MOD][MOD-1]+get_c(n/MOD,k/MOD)*s[n%MOD][k%MOD])%MOD;
}int main()
{c[0][0]=1;for (int i=1;i<MOD;i++){c[i][0]=1;for (int j=1;j<=i;j++) c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%MOD;}for (int i=0;i<MOD;i++){s[i][0]=1;for (int j=1;j<MOD;j++) s[i][j]=(s[i][j-1]+c[i][j])%MOD;}int T;scanf("%d",&T);while (T--){LL n,k;scanf("%lld%lld",&n,&k);printf("%d\n",solve(n,k));}return 0;
}
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