最大子矩阵——NYOJ104

大子矩阵——NYOJ104"/>

最大子矩阵——NYOJ104

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给定一个由整数组成二维矩阵（r*c），现在需要找出它的一个子矩阵，使得这个子矩阵内的所有元素之和最大，并把这个子矩阵称为最大子矩阵。 

这个问题就是最大值子区间和的二维问题。

最大子区间和是说给你一个数组，然后让你找一个连续的子区间，让这个区间的数的和最大。很经典的简单DP。题目可以参考这个链接：.php?pid=44。

一维问题的解决思路是，max_sum表示从第一数到目前的最大和，sum是某段区间的和，如果sum<0，那么sum没有利用价值了，把sum=0，否则就继续往上加。

max_sum=max((sum+=a[i])<0?0:sum,max_sum);

二维的问题，其实可以转化为一位的问题。

首先我们要注意到二维子矩阵在选取的时候是个矩阵，联系一个我们经常会用到的技巧：但我们需要频繁计算一个数据任意一个区间

的和的时候，我们会预先把这个数组使用啊a[i]=a[i]+a[i-1]的方式把它记录的值变为数组到这个位置的和，这样的好处就是任意一个区间[i,j]的和就可转化为了a[i]-a[j-1]。

在这里我们依然采用这样的技巧。我们把这个矩阵记录的值对于每个列向量都做上述改变。

然后我们就发现，但我们选取任意的连续行进行组合的时候，这个行区间对于的列的值的和都可以用上述方法快速获得，那么对于每个列的和又会变为一个求一维连续区间最大和问题了。到此这个问题就可以以O(n^2)的复杂度解决了。

代码如下：

1.    
2. #include <stdio.h>  
3. #include <string.h>  
4. int map[102][102];  
5. int main()  
6. {  
7.     int i,j,k,m,t,r,c,max,temp,cc=0;  
8.     scanf("%d",&t);  
9.     while(t--)  
10.     {  
11.         cc++;  
12.         scanf("%d%d",&r,&c);  
13.         for(i=1;i<=r;i++)  
14.         {  
15.             for(j=0;j<c;j++)  
16.             {  
17.                 scanf("%d",&map[i][j]);  
18.                 map[i][j]=map[i][j]+map[i-1][j];  
19.             }  
20.         }  
21.         for(i=1,m=map[1][0];i<=r;i++)  
22.             for(j=i;j<=r;j++)  
23.             {  
24.                 for(k=max=0;k<c;k++)  
25.                 {  
26.                     temp=map[j][k]-map[i-1][k];  
27.                     max=(max>=0?max:0)+temp;  
28.                     m=max>m?max:m;  
29.                 }  
30.             }  
31.         printf("%d\n",m);  
32.         memset(map,0,sizeof(map));  
33.     }  
34. }  
35.