《通信原理》——3. 数字基带传输系统与数字带通传输系统（数字调制）

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《通信原理》——3. 数字基带传输系统与数字带通传输系统（数字调制）

写在前面：本博客是《通信原理》的学习笔记，仅供个人学习记录使用

目录

• 一、一些定义
• 二、基带传输系统组成
• 三、 数字基带信号
• 四、基带信号的频谱特性
• 五、基带传输的常用码型
• 六、数字基带信号传输与码间串扰
• • 1. 信号通过数字基带传输系统
  • 2. 无码间串扰的条件
  • 3. 无码间串扰的传输特性 H ( w ) H(w) H(w)的设计
  • • （1）理想低通特性
    • （2）余弦滚降特性
  • 4. 基带传输系统的抗噪声性能
  • • （1）二进制双极性基带系统
    • （2）二进制单极性基带系统
• 七、眼图
• 八、二进制数字调制原理
• • 1. 二进制振幅键控（2ASK）
  • 2.二进制频移键控（2FSK）
  • 3.二进制相移键控（2PSK）
  • 4. 二进制差分相移键控 （2DPSK）
  • 5. 数字调制信号的星座图
• 九、二进制数字调制系统性能比较
• • 1. 抗噪声性能比较（误码率——可靠性）
  • 2. 频带带宽——有效性
  • 3. 对信道特性变化的敏感性
  • 4. 设备的复杂度
  • 5. 选择调制方式的原则

一、一些定义

（1）数字基带信号：数字信号所占据的频谱是从零频或很低频率开始，称为数字基带(baseband)信号。
（2）数字基带传输系统：不经载波调制而直接传输数字基带信号的系统，称为数字基带传输系统。
（3）数字调制：指把数字基带信号变换为数字带通信号（已调信号）的过程。
（4）数字带通传输系统：指包括调制和解调过程的数字传输系统。
（5）星座点：在数字通信中，星座点通常用来表示数字编码的离散信号，是复平面上的信号点的集合，其中每个星座点代表一个特定的数字或字母。通过星座点，接收端可以在接收到信号后对其进行解调和识别。接收端会将接收到的信号映射到最接近的星座点，并根据信号点的位置来恢复相应的数字信息。这种星座图的设计和使用有助于提高传输效率和抗干扰能力，同时降低误码率。

二、基带传输系统组成

基带信号在传输前，必须经过一些处理或者某些变换（如码型变换、波形和频谱变换）才能送入信道中传输。处理或变换的目的是使信号的特性与信道的传输特性相匹配。
（1）信道：给基带信号提供传输通道。
（2）发送滤波器，即信道信号形成器：原始基带信号→适合于信道传输的基带信号。主要用于匹配信道，减小码串，利于同步提取。
（3）接收滤波器：滤除带外噪声，对信道特性均衡，使输出的基带波形有利于抽样判决。
（4）抽样判决器：对接收滤波器的输出波形进行抽样判决，确定发送信码序列，再生基带信号。
（5）同步提取：提取用于抽样的位定时脉冲。

三、 数字基带信号

对于单个信号：

对于序列：

各波形的优缺点：

四、基带信号的频谱特性

分析功率谱的意义：可以确定信号的带宽，可以明确能否从脉冲序列中直接提取定时分量，以及采取怎样的方法可以从基带脉冲序列中提取出所需要的离散分量。
若各码元的波形相同而电平取值不同，则数字基带信号表示为： s ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ a n g ( t − n T s ) s(t)=\sum_{n=-\infty }^{\infty } a_{n}g(t-nT_{s}) s(t)=n=−∞∑∞​an​g(t−nTs​)
其中， a n a_{n} an​为第 n n n个码元所对应的电平值（0，+1或-1，+1等）； T s T_{s} Ts​为码元持续时间； g ( t ) g(t) g(t)为某种脉冲波形。
对于二进制随机脉冲，如果 g 1 ( t ) g_{1}(t) g1​(t)和 g 2 ( t ) g_{2}(t) g2​(t)分别表示消息码’0’和’1’，假设序列任一码元时间 T s T_{s} Ts​内 g 1 ( t ) g_{1}(t) g1​(t)和 g 2 ( t ) g_{2}(t) g2​(t)出现的概率为 P P P和 1 − P 1-P 1−P，且出现是统计独立的，则序列可表示为： s ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ s n ( t ) s n ( t ) = { g 1 ( t − n T s ) 以概率P出现 g 2 ( t − n T s ) 以概率1-P出现 s(t)=\sum_{n=-\infty }^{\infty }s_{n}(t)\\s_{n}(t)=\begin{cases} g_{1}(t-nT_{s}) & \text{ 以概率P出现} \\ g_{2}(t-nT_{s}) & \text{ 以概率1-P出现} \end{cases} s(t)=n=−∞∑∞​sn​(t)sn​(t)={g1​(t−nTs​)g2​(t−nTs​)​ 以概率P出现 以概率1-P出现​
所以 s ( t ) s(t) s(t)的功率谱密度为： P s ( f ) = P u ( f ) + P v ( f ) = f B P ( 1 − P ) ∣ G 1 ( f ) − G 2 ( f ) ∣ 2 + ∑ n = − ∞ ∞ ∣ f B [ P G 1 ( m f B ) + ( 1 − P ) G 2 ( m f B ) ] 2 δ ( f − m f B ) ∣ \begin{aligned} P_{s}(f)&=P_{u}(f)+P_{v}(f) \\ &=f_{B}P(1-P)|G_{1}(f)-G_{2}(f)|^{2}+\sum_{n=-\infty }^{\infty }|f_{B}[PG_{1}(mf_{B})+(1-P)G_{2}(mf_{B})]^{2}\delta (f-mf_{B})| \end{aligned} Ps​(f)​=Pu​(f)+Pv​(f)=fB​P(1−P)∣G1​(f)−G2​(f)∣2+n=−∞∑∞​∣fB​[PG1​(mfB​)+(1−P)G2​(mfB​)]2δ(f−mfB​)∣​
其中， P u ( f ) P_{u}(f) Pu​(f)为交变波 u ( t ) u(t) u(t)的功率谱， P v ( f ) P_{v}(f) Pv​(f)为稳态波 v ( t ) v(t) v(t)的功率谱。

五、基带传输的常用码型

（1）AMI 码（Alternative Mark Inversion， 传号极性交替码）：将消息码中的’1’（传号）交替的变换为‘+1’和‘-1’，而‘0’（空号）保持不变。

（2） H D B 3 HDB_{3} HDB3​码：（ 3 n d 3^{nd} 3nd Order High Density Bipolar，三阶高密度双极性码）：

• 连“0”个数不超过3个时，遵循AMI的编码规则；
• 连“0”个数超过3个时，将第4个“0”改为非“0”脉冲，记为V+或V-，称为破坏脉冲。
• 相邻V码的极性必须交替出现（确保无直流）；
• V码的极性应与前一个非“0”脉冲的极性相同，否则，将0000更改为B+00V+ 或 B-00V- 。B称为调节脉冲。
• V码之后的传号码极性也要交替。
  

（3）双相码，又称曼彻斯特码（Manchester）：‘0’码用‘01’两位码表示，‘1’码用‘10’表示。

（4）CMI 码（Coded Mark Inversion，传号反转码）：‘1’码交替用‘11’和‘00’两位表示，‘0’码固定用‘01’表示。

各编码方式的比较：

六、数字基带信号传输与码间串扰

1. 信号通过数字基带传输系统

数字基带传输系统的数学表示：

数字基带传输系统各模块的输出波形：

可以看到，在接收端恢复得信息出现了译码错误，即产生了码间串扰（InterSymbol Interference，ISI）。
产生的原因是系统传输总特性不理想。
基带传输特性： H ( w ) = G T ( w ) C ( w ) G R ( w ) H(w)=G_{T}(w)C(w)G_{R}(w) H(w)=GT​(w)C(w)GR​(w)
{ a n a_{n} an​}对应的基带信号： d ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ a n δ ( t − n T B ) d(t)=\sum_{n=-\infty }^{\infty } a_{n}\delta (t-nT_{B}) d(t)=n=−∞∑∞​an​δ(t−nTB​)
接收滤波器输出信号：

设抽样时刻 t = k T B + t 0 t=kT_{B}+t_{0} t=kTB​+t0​，则抽样值为：

2. 无码间串扰的条件

从上式中可见，码间串扰ISI和信道噪声n(t)是造成误码的两个主要因素。
如果令：

便可以消除ISI，因此基带需要满足的时域条件为：

含义： 本码元抽样时刻有值；其他码元抽样时刻均为0。

进一步可求得消除ISI需要满足的频域条件：

这个条件被称为奈奎斯特第一准则，它为消除码间串扰奠定了理论基础。只要基带系统的总特性 H ( w ) H(w) H(w)满足此条件，均能消除码间干扰。
它的物理意义是：将 H ( w ) H(w) H(w)在 w w w轴上以 2 π / T B 2\pi /T_{B} 2π/TB​为间隔切开，然后分段沿 w w w轴平移到 ( − π / T B , π / T B ) (-\pi /T_{B},\pi /T_{B}) (−π/TB​,π/TB​)区间内，将它们叠加，其结果应当为一个常数（不一定是 T B T_{B} TB​）。
也可以描述为：一个实际的 H ( w ) H(w) H(w)特性若能等效成一个理想（矩形）低通滤波器，则可以实现无码间串扰。

3. 无码间串扰的传输特性 H ( w ) H(w) H(w)的设计

（1）理想低通特性

可以看出，当发送序列的时间间隔为 T B 时 T_{B}时 TB​时，正好巧妙利用了 h ( t ) h(t) h(t)的周期性零点，只要接收端在 t = k T B t=kT_{B} t=kTB​时间点上抽样，就能实现无码间串扰。

奈奎斯特带宽（最窄带宽）： B = 1 2 T B = f N B=\frac{1}{2T_{B}}=f_{N} B=2TB​1​=fN​
奈奎斯特速率（无ISI的最高波特率）： R B = 1 T B = 2 f N R_{B}=\frac{1}{T_{B}}=2f_{N} RB​=TB​1​=2fN​
无ISI基带系统的最高频带利用率： η = R B / B = 2 ( B a u d / H z ) \eta =R_{B}/B=2(Baud/Hz) η=RB​/B=2(Baud/Hz)
信息传输速率： η b = R b / B = 2 l o g 2 M ( b p s / H z ) \eta _{b} =R_{b}/B=2log_{2}M(bps/Hz) ηb​=Rb​/B=2log2​M(bps/Hz)

真的能实现吗？不能！

原因：特性陡峭 不易实现；且 h ( t ) h(t) h(t)响应曲线尾部收敛慢，摆幅大，如果定时（抽样时刻）稍有偏差，就会出现严重的码间串扰。
解决方案：对 H ( w ) H(w) H(w)在 f N f_{N} fN​处按“奇对称”条件进行“圆滑/滚降”。

（2）余弦滚降特性

滚降系数： α = f Δ / f N ( 0 ∼ 1 ) \alpha =f_{\Delta }/f_{N} (0\sim 1) α=fΔ​/fN​(0∼1)
因此同理可计算： B = f N + f Δ = ( 1 + α ) f N ; η = R B B = 2 1 + α ( B a u d / H z ) ; η b = R b B = 2 1 + α l o g 2 M ( b p s / H z ) B=f_{N}+f_{\Delta }=(1+\alpha)f_{N}; \\\eta =\frac{R_{B}}{B}=\frac{2}{1+\alpha}(Baud/Hz); \\ \eta _{b} =\frac{R_{b}}{B}=\frac{2}{1+\alpha}log_{2}M(bps/Hz) B=fN​+fΔ​=(1+α)fN​;η=BRB​​=1+α2​(Baud/Hz);ηb​=BRb​​=1+α2​log2​M(bps/Hz)

可以看出， α \alpha α越大， h ( t ) h(t) h(t)的拖尾衰减越快，但 B B B会增大， η \eta η下降。（这也算有来有往，满足没有免费午餐定理）

4. 基带传输系统的抗噪声性能

（1）二进制双极性基带系统

假设信号峰值为 A A A，噪声均方根值为 σ n \sigma _{n} σn​，信号发送‘0’和‘1’码的概率分别为 P ( 0 ) P(0) P(0)和 P ( 1 ) P(1) P(1)。
则最佳门限电平（使误码率最小的判决门限电平）为：
如果 P ( 0 ) = P ( 1 ) = 1 / 2 P(0)=P(1)=1/2 P(0)=P(1)=1/2，则有： V d ∗ = 0 V_{d}^{*}=0 Vd∗​=0
这时基带传输系统总误码率为：

（2）二进制单极性基带系统

同理可计算得出最佳门限电平为：

等概时： V d ∗ = A / 2 V_{d}^{*}=A/2 Vd∗​=A/2，并且此时二进制单极性基带系统总误码率为：

总结：在二进制基带信号传输过程中，噪声引起的误码有两种差错形式：发“1”错判为“0”,发“0”错判为"1"。在相同条件下，双极性基带系统的误码率比单极性的低，抗噪声性能好，且在等概条件下，双极性的最佳判决门限电平为0，与信号幅度无关，因而不随信道特性变化而变，而单极性的最佳判决门限电平为A/2，易受信道特性变化的影响，从而导致误码率增大。

七、眼图

定义：眼图是指用示波器在接收端观察到的一种图形。因为传输二进制信号波形时，示波器上显示的图形很像人的眼睛，因此叫做‘眼图’。
眼图形成的要求：调整示波器的水平扫描周期 T c T_{c} Tc​,使其与接收码元周期 T B T_{B} TB​同步。

眼图的成因：由于示波器的余晖作用，使扫描所得的每一个码元波形重叠在一起，从而形成眼图。
眼图的作用：可从中观察 I S I ISI ISI的大小和 n ( t ) n(t) n(t)的强弱；从而直观地评估系统性能的优劣。还可以用来指示接收滤波器的调整，以减小码间串扰，改善系统性能。

• “眼睛”张开的大小反映了ISI的强弱。
• "眼睛"大，且眼图端正，表示ISI小；反之ISI大。

（a）无ISI的情况——大“眼睛”；（c）线迹细而清晰；
（b）有ISI的情况——小“眼睛”；（d）且线迹杂乱。

眼图模型：

八、二进制数字调制原理

数字调制的基本类型：对正弦载波的振幅、频率或相位进行键控，便可获得振幅键控(ASK)、频移键控(FSK)和相移键控(PSK/DPSK)三种基本的数字调制方式。
二进制调制：指载波的幅度、频率或相位受调制后只有两种状态（2ASK、2FSK、2PSK/2DPSK等）。
多进制调制：指载波的幅度、频率或相位受调制后有M种状态（MASK、MFSK、MPSK/MDPSK等）。
本节以二进制数字信号为例，介绍了2ASK、2FSK、2PSK/2DPSK等信号，并稍微扩展了多进制调制的星座图表示。

1. 二进制振幅键控（2ASK）

（1）2ASK的表达式为： e 2 A S K = s ( t ) c o s w c t s ( t ) = ∑ n a n g ( t − n T s ) , a n = { 1 概率为  P 0 概率为  1 − P e_{2ASK}=s(t)cosw_{c}t\\s(t)=\sum_{n}a_{n}g(t-nT_{s}),a_{n}=\begin{cases} 1 & \text{ 概率为 } P \\ 0 & \text{ 概率为 } 1-P \end{cases} e2ASK​=s(t)coswc​ts(t)=n∑​an​g(t−nTs​),an​={10​ 概率为 P 概率为 1−P​
（2）2ASK又叫做通-断键控（OOK），产生方式有模拟相乘法和数字键控法：

（3）解调方式有非相干解调（包络检波法）和相干解调（同步检测法）：

（4）功率谱密度： B 2 A S K = 2 f B B_{2ASK}=2f_{B} B2ASK​=2fB​，其中 f B = 1 / T B f_{B}=1/T_{B} fB​=1/TB​，
可知，2ASK信号的传输带宽为码元速率的2倍。这是由于ASK信号为实数，而虚部作为一个正交通路没有被利用，因此频谱效率降低了一半，其射频信号为双边带。
从图中可知，频谱中含有载波分量（原因可以看教科书中的公式推导，这里就直接展示结论了）

2.二进制频移键控（2FSK）

（1）2FSK的表达式为：

（2）2FSK可以由模拟调频电路和键控法实现，其中，键控法产生2FSK的原理图为：

（3）解调方式有非相干解调（包络检波法）和相干解调（同步检测法）：

（4）功率谱密度：连续谱形状随着两个载频之差的大小而变化，带宽近似于： B 2 F S K = ∣ f 2 − f 1 ∣ + 2 f B B_{2FSK}=|f_{2}-f_{1}|+2f_{B} B2FSK​=∣f2​−f1​∣+2fB​

3.二进制相移键控（2PSK）

（1）2PSK的表达式为： e 2 P S K = s ( t ) c o s w c t s ( t ) = ∑ n a n g ( t − n T s ) , a n = { 1 概率为  P − 1 概率为  1 − P e_{2PSK}=s(t)cosw_{c}t\\s(t)=\sum_{n}a_{n}g(t-nT_{s}),a_{n}=\begin{cases} 1 & \text{ 概率为 } P \\ -1 & \text{ 概率为 } 1-P \end{cases} e2PSK​=s(t)coswc​ts(t)=n∑​an​g(t−nTs​),an​={1−1​ 概率为 P 概率为 1−P​
（2）2PSK可以由模拟调频电路和键控法实现：

（3）2PSK解调通常采用相干解调法：

2PSK相干解调时的各点时间波形：

2PSK在实际中很少用到，因为在信号恢复过程中存在倒 π \pi π现象或反相工作，即存在着 18 0 ∘ 180^{\circ} 180∘的相位模糊，因此恢复的本地载波与所需的相干载波可能同相，也可能反相，从而导致判决器输出数字信号全部出错。
解决方法：DPSK！

4. 二进制差分相移键控 （2DPSK）

（1）原理：利用前后相邻码元的载波相对相位表示信息。
（2）2DPSK的表达式：

因此可以将一组二进制数字信息与其对应的2DPSK信号的载波相位关系写出来：

（3）2DPSK的产生：

与之对应的2DPSK信号调制过程波形图为：

差分编码规则为： b n = a n ⊕ b n − 1 b_{n}=a_{n}\oplus b_{n-1} bn​=an​⊕bn−1​
其中， a n a_{n} an​为绝对码， ⊕ \oplus ⊕为模2加， b n − 1 b_{n-1} bn−1​为 b n b_{n} bn​的前一码元。

（4）2DPSK的解调方法有两种，其框图和波形示意图如下所示：

（5）2PSK和2DPSK的功率谱： B 2 D P S K = B 2 P S K = 2 f B B_{2DPSK}=B_{2PSK}=2f_{B} B2DPSK​=B2PSK​=2fB​，与2ASK的区别区别仅在于当 P = 1 / 2 P=1/2 P=1/2时，谱中无离散谱（即载波分量）。

5. 数字调制信号的星座图

（1）下图表示在复平面上 2 A S K 2ASK 2ASK和 4 A S K 4ASK 4ASK的星座图，每个 2 A S K 2ASK 2ASK符号有两种可能的取值，代表 1 b i t 1bit 1bit； 4 A S K 4ASK 4ASK符号有4种可能的取值，代表 2 b i t 2bit 2bit。

（2）相移键控是用不同相位的星座点来表示数字信息的，下图表示 B P S K BPSK BPSK、 Q P S K QPSK QPSK和 8 P S K 8PSK 8PSK的星座，一个符号可以代表 1 b i t 1bit 1bit， 2 b i t 2bit 2bit和 3 b i t 3bit 3bit。

B P S K BPSK BPSK和 2 A S K 2ASK 2ASK的星座是相同的。因为是实数，所以射频信号是双边频谱。 Q P S K QPSK QPSK和 8 P S K 8PSK 8PSK是比较常见的相移键控调制方式。我们注意到， P S K PSK PSK调制的星座点都在一个圆上，随着阶数的增高，星座点之间的距离变得很小，因此基本不会考虑高于 8 P S K 8PSK 8PSK的调制方式。
（3）QAM（Quadrature Amplitude Modulation，正交幅度调制）指的是在实部和虚部两个正交的维度上采用了幅度调制，这就比ASK的星座点只在一个维度上具有优势。下图表示 4 Q A M 4QAM 4QAM和 16 Q A M 16QAM 16QAM的星座图。 4 Q A M 4QAM 4QAM只是将 Q P S K QPSK QPSK旋转了 45 ° 45° 45°，也可以看作一种 Q P S K QPSK QPSK。一个 16 Q A M 16QAM 16QAM符号可以表示 4 b i t 4bit 4bit。

因为QAM同时利用了两个正交维度，资源利用率比较高，因此获得了广泛的应用。LTE系统主要应用的就是QAM调制。
注意：正交调幅方法的阶数越大，即M越大，相邻相位距离越小，噪声容限越小，导致误码率上升。

九、二进制数字调制系统性能比较

1. 抗噪声性能比较（误码率——可靠性）

二进制数字调制系统的误码率公式表：

其中， S N R = r = a 2 2 σ n 2 , σ n 2 = n 0 B = n 0 2 T s SNR=r=\frac{a^{2}}{2\sigma _{n}^{2}} , \sigma _{n}^{2}=n_{0}B=n_{0}\frac{2}{T_{s}} SNR=r=2σn2​a2​,σn2​=n0​B=n0​Ts​2​。
画出三种调制系统的误码率与信噪比关系曲线：

（1）可以看出，当r一定，相同解调方式(如相干解调),抗高斯白噪声性能优劣的顺序为：2PSK、2DPSK、2FSK、2ASK。
（2）Pe一定，所需的信噪比满足： r 2 A S K = 2 r 2 F S K = 4 r 2 P S K r_{2ASK}=2r_{2FSK}=4r_{2PSK} r2ASK​=2r2FSK​=4r2PSK​，即 ( r 2 A S K ) d B = 3 d B + ( r 2 F S K ) d B = 6 d B + ( r 2 P S K ) d B (r_{2ASK})_{dB}=3_{dB}+(r_{2FSK})_{dB}=6_{dB}+(r_{2PSK})dB (r2ASK​)dB​=3dB​+(r2FSK​)dB​=6dB​+(r2PSK​)dB。
（3）r一定，相同解调方式下满足： P e 相干 < P e 非相干 P_{e相干}<P_{e非相干} Pe相干​<Pe非相干​。
（4）大信噪比 r ≫ 1 r\gg 1 r≫1时，两者性能相差不大。

2. 频带带宽——有效性

设基带信号的谱零点带宽为 R B = 1 / T S R_{B}=1/T_{S} RB​=1/TS​，则有：
B 2 A S K = B 2 P S K = B 2 D P S K = 2 R B = 2 T s B_{2ASK}=B_{2PSK}=B_{2DPSK}=2R_{B}=\frac {2}{T_{s}} B2ASK​=B2PSK​=B2DPSK​=2RB​=Ts​2​
（1） B 2 F S K B_{2FSK} B2FSK​不仅与基带信号带宽有关，且与两个载频之差有关。
（2）在 R B R_{B} RB​一定时，2FSK的频带利用率最低，有效性最差。

3. 对信道特性变化的敏感性

（1）2ASK： b ∗ = a / 2 b^{*}=a/2 b∗=a/2，易受信道参数变化的影响，不适于在变参信道中传输。
（2）2PSK： b ∗ = 0 b^{*}=0 b∗=0，不易受信道参数变化的影响。
（3）2FSK：不需要人为设置判决门限，因而对信道变化不敏感，适用于变参信道传输场合。

4. 设备的复杂度

通常，非相干方式比相干方式简单。这是因为相干解调需要提取相干载波，故设备相对复杂些，成本也略高。

5. 选择调制方式的原则

（1）恒参信道：

• 要求较高的功率利用率，选择相干 2PSK 和 2DPSK，不选 2ASK。
• 要求较高的频带利用率，选择 2PSK 和 2DPSK，2FSK 最不可取。

（2）随参信道：2FSK 具有更好的适应能力。