Newman–Penrose formalism

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Newman–Penrose formalism

复习

• 常见的计算关系回顾 这里我们设 X=eixi,ω=ωie∗i $X=e_ix^i,\omega=\omega_ie^{*i}$

  xa;bωa;bxij;kωij;k=xa,b+Γabcxc=ωa,b−Γcabωc=xij,k+Γilkxlj+Γjlkxil=ωij,k−Γlikωlj−Γljkωil $$\begin{align} x^a_{;b}&=x^a_{,b}+\Gamma^a_{bc}x^c\\ \omega_{a;b}&=\omega_{a,b}-\Gamma_{ab}^c\omega_c\\ x^{ij}_{;k}&=x^{ij}_{,k}+\Gamma^i_{lk}x^{lj}+\Gamma^j_{lk}x^{il} \\ \omega_{ij;k}&=\omega_{ij,k}-\Gamma_{ik}^l\omega_{lj}-\Gamma_{jk}^l\omega_{il} \end{align}$$ 通常的我们记 Tab;c:=(∇ecT)ab $$T^{ab}_{;c}:=(\nabla_{e_c}T)^{ab}$$ 而交换协变导数会产生黎曼曲率张量： ωa;bc−ωa;cb=Rdabcωd $$\omega_{a;bc}-\omega_{a;cb}=R^d_{abc}\omega_d$$ xa;bc−xacb=−Radbcxd $$x^a_{;bc}-x^a_{cb}=-R^a_{dbc}x^d$$
  • 协变微分 设 θ=∑i,jθi1..irj1..jsei1⊗...eir..⊗e∗j1..⊗e∗js $\displaystyle\theta=\sum_{i,j}\theta^{i_1..i_r}_{j_1..j_s}e_{i_1}\otimes... e_{i_r}..\otimes e^{*j_1}.. \otimes e^{*j_s}$是 (r,s) $(r,s)$型张量（就是有 r $r$个孔放置一形式，s$s$个孔放置向量） {wi}ri=1 $\displaystyle\{w_i\} ^{r}_{i=1}$ 是一形式， {Xi}si=1 $\displaystyle\{X_i\} ^{s}_{i=1}$是向量，定义协变微分 ∇θ $\nabla \theta$ ∇θ(w1..wr;X1...Xs,X)=∇Xθ(w1..wr;X1...Xs) $$\displaystyle\nabla \theta(w_1..w_r;X_1...X_s,X)=\nabla_X \theta(w_1..w_r;X_1...X_s)$$ 写成分量： ∇θ=∑i,jθi1..irj1..js;kei1⊗...eir..⊗e∗j1..⊗e∗js⊗e∗k $$\displaystyle\nabla \theta= \sum_{i,j}\theta^{i_1..i_r}_{j_1..j_s;k}e_{i_1}\otimes... e_{i_r}..\otimes e^{*j_1}.. \otimes e^{*j_s}\otimes e^{*k}$$ 协变微分的系数计算： θi1..irj1..js;k=θi1..irj1..js,k+∑p=1rθ..h..Γipkh−∑q=1sθ..h..Γhkjq $$\displaystyle \theta^{i_1..i_r}_{j_1..j_s;k}=\theta^{i_1..i_r}_{j_1..j_s,k}+\sum^{r}_{p=1}\theta^{..h..}\Gamma^{i_p}_{kh}-\sum^{s}_{q=1}\theta_{..h..}\Gamma^{h}_{kj_q}$$

• Christoffel symbols of the first kind

  Γcab=12(gca,b+gcb,a−gab,c)=gcdΓdab $$\Gamma_{c ab}=\frac{1}{2}(g_{ca,b}+g_{cb,a}-g_{ab,c})=g_{cd}\Gamma^{d}_{ab}$$

• Christoffel symbols of the second kind ∇iej=Γkijek $$\nabla_{i}e_j=\Gamma^k_{ij}e_{k}$$ 练习：利用 0=gik;l=gik,l−gimΓmkl−gmkΓmil $0=g_{ik;l}=g_{ik,l}-g_{im}\Gamma^m_{kl}-g_{mk}\Gamma^m_{il}$交换指标求和推导出 Γikl=12gim(gmk,l+gml,k−gkl,m) $\Gamma^{i}_{kl}=\frac{1}{2}g^{im}(g_{mk,l}+g_{ml,k}-g_{kl,m})$
• 关联系数Connection coefficients in a non holonomic basis 在non holonomic basis {ui} $\{u_i\}$的情况下 ∇uiuj=ωkijuk $$\nabla_{u_i} {u_j}=\omega^k_{ij}u_k$$ 这里的 ωikl $\omega^i_{kl}$是关联系数： ωikl=12gim(gmk,l+gml,k−gkl,m+Cmkl+Cmlk−Cklm) $$\omega^i_{kl}=\frac{1}{2}g^{im}(g_{mk,l}+g_{ml,k}-g_{kl,m}+C_{mkl}+C_{mlk}-C_{klm})$$ 这里的 Cklm=gmpCpkl $C_{klm}=g_{mp}C^{p}_{kl}$是交换系数， [uk,ul]=Cmklum $[ u_k,u_l]=C^m_{kl}u_m$
• Ricci 旋转系数 选择标准正交基 Xi $X_i$, gab=ηab=⟨Xa,Xb⟩,gmk,l=0 $g_{ab}=\eta_{ab}=\langle X_a,X_b \rangle,g_{mk,l}=0$ ωikl=12gim(Cmkl+Cmlk−Cklm) $$\omega^i_{kl}= \frac{1}{2}g^{im}(C_{mkl}+C_{mlk}-C_{klm})$$ ωabc=ωdbcηad $\displaystyle \omega_{abc}=\omega^d_{bc}\eta_{ad}$,(在老钱的书里面会写成 γijk $\gamma_{ijk}$)被称为Ricci 旋转系数，其中 ωabc=−ωbac $\displaystyle\omega_{abc}=-\omega_{bac}$

Null tetrad and sign convention

• NP包含了两个实的null 向量 {l,n} $\{l,n\}$ 和两个复向量 {m,m¯} $\{ m,\bar{m} \}$ lala=nana=mama=ma¯ma¯=0lana=lana=−1;mama¯=1=mama¯lama=lama¯=nama=nama¯=0 $$\begin{array}. l_al^a=n_an^a=m_am^a=\bar{m_a}\bar{m^a}=0\\ l_an^a=l^an_a=-1; m_a\bar{m^a}=1=m^a\bar{m_a} \\ l_am^a=l_a\bar{m^a}=n_am^a=n_a\bar{m^a}=0\end{array}$$
  与度量 gab $g_{ab}$的关系 gab=−lanb−nalb+mam¯b+m¯amb $$g_{ab}=-l_an_b-n_al_b+m_a\bar{m}_b+\bar{m}_am_b$$
• 四个方向协变导数 D:=∇l=la∇a $$D:=\nabla_{l}=l^a\nabla_{a}$$ Δ:=∇n=na∇a $$\Delta:=\nabla_{n}=n^a\nabla_{a}$$ δ:=∇m=ma∇a $$\delta:=\nabla_{m}=m^a\nabla_{a}$$ δ¯:=∇m¯=m¯a∇a $$\bar{\delta}:=\nabla_{\bar{m}}=\bar{m}^a\nabla_{a}$$
• 12个自旋系数 κ:=−maDla=−malb∇bla $$\kappa:=-m^aDl_a=-m^al^b\nabla_bl_a$$ λ:=m¯aδ¯na=m¯am¯b∇bna $$\lambda:=\bar{m}_a\bar{\delta}n_a=\bar{m}^a\bar{m}^b\nabla_bn_a$$ α:=−1/2(nam¯b∇bla−m¯am¯b∇ama) $$\alpha:=-1/2(n^a\bar{m}^b\nabla_{b}l_a-\bar{m}^a\bar{m}^b\nabla_am_a)$$
• 运输方程(16个)

• 交换子(4个) ΔD−DΔ=(γ+γ¯)D+（ϵ+ϵ¯）Δ−(τ¯+π)δ−(τ+π¯)δ¯ $$\Delta D-D\Delta=(\gamma +\bar{\gamma})D+（\epsilon+\bar{\epsilon}）\Delta-(\bar{\tau}+\pi)\delta-(\tau+\bar{\pi})\bar{\delta}$$ 练习2：推导

• Weyl–NP and Ricci–NP scalars 10个独立的Weyl 张量的分量可以写成 5个复的Weyl-NP 分量

  Ψ0:=Cabcdlamblcmd $$\Psi_0:=C_{abcd}l^am^bl^cm^d$$ Ψ1:=Cabcdlanblcmd $$\Psi_1:=C_{abcd}l^a n^b l^c m^d$$ 练习3：写出 Ψ2,Ψ3,Ψ4 $\Psi_2,\Psi_3,\Psi_4$
  10个独立的Ricci 张量可以写成4个实数量 {Φ00,Φ11,Φ22,Λ} $\{ \Phi_{00} ,\Phi_{11},\Phi_{22},\Lambda \}$ 以及3个复数量 {Φ10,Φ20,Φ21} $\{ \Phi_{10},\Phi_{20},\Phi_{21}\}$ Φ00=12Rablalb $$\Phi_{00}=\frac{1}{2}R_{ab}l^al^b$$ Λ=R24 $$\Lambda=\frac{R}{24}$$ Φ10=12Rablam¯b=Φ¯01 $$\Phi_{10}=\frac{1}{2}R_{ab}l^a \bar{m}^b=\bar{\Phi}_{01}$$
  练习4：写出剩余的

• Einstein–Maxwell–NP equations复习一下符号
  The six independent components of the Faraday-Maxwell 2-form (i.e. the electromagnetic field strength tensor) Fab,Fab ${ F_{ab}}, F_{ab}$can be encoded into three complex Maxwell-NP scalars.

  ϕ0:ϕ1:ϕ2:=Fablamb=12Fab(lanb+m¯amb)=Fabm¯anb $$\begin{array} . \phi_0:&=F_{ab}l^am^b \\ \phi_{1}:&=\frac{1}{2}F_{ab}(l^an^b+\bar{m}^am^b) \\ \phi_2:&=F_{ab}\bar{m}^an^b \end{array}$$ 因此Maxwell 方程 {dFd∗F=0=0 $$\begin{cases} dF&=0 \\ d*F&=0\end{cases}$$ 会写成 Dϕ1−δ¯ϕ0=(π−2α)ϕ0+2ρϕ1−κϕ2 $$D\phi_1-\bar{\delta}\phi_0=(\pi-2\alpha)\phi_0+2\rho\phi_1-\kappa\phi_2$$ 练习5：写出剩余的
  练习6：用Ricci-NP 数量写出Maxwell方程 Φij=2ϕiϕ¯j $$\Phi_{ij}=2\phi_i\bar{\phi}_j$$

习题解答

LiangBook

• 类光标架null tetrad 设 {ei} $\{e_i\}$是单位正交基,定义: {m,m¯,l,k}={ε1,ε2,ε3,ε4} $\{m,\bar{m},l,k\}=\{\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3,\varepsilon_4\}$ m:=12√[e1−ie2] $$m:=\frac{1}{\sqrt 2}[e_1-ie_2]$$ m¯:=12√[e1+ie2] $$\bar{m}:=\frac{1}{\sqrt 2}[e_1+ie_2]$$ l:=12√[e0−e3] $$l:=\frac{1}{\sqrt 2}[e_0-e_3]$$ k:=12√[e0+e3] $$k:=\frac{1}{\sqrt 2}[e_0+e_3]$$
• 练习1证明 mama=0，mam¯a=1,laka=−1 $$m_am^a=0，m^a\bar{m}_a=1,l^ak_a=-1$$ 从而有 g12=g21=1,g34=g43=−1 $$g_{12}=g_{21}=1,g_{34}=g_{43}=-1$$
• 联络系数 γkij $\gamma^k_{ij}$ 设 {ei} $\{e_i\}$是任意的基底（不一定是坐标场） ∇eiej=γkijek $$\displaystyle \nabla_{e_i} e_j=\gamma^k_{ij}e_k$$ 也就是说 γkij=e∗k(∇eiej) $$\gamma^k_{ij}=e^{*k}(\nabla_{e_i} e_j)$$
• 联络1形式 wij $w^i_{j}$ （wij）a:=−γijke∗k $$（w^i_{j}）_a:=-\gamma^i_{jk}e^{*k}$$ 注意这里的下标 a $a$是抽象指标，表明这里有一个孔，可以放向量，不要理解成第a$a$个分量.以下都是这样

• 练习2 证明：

  (wij)a=−e∗i(∇aej)=(∇ae∗i)ej $$(w^i_j)_a=-e^{*i}(\nabla_a e_j)=(\nabla_a e^{*i})e_j$$

• Cartan 结构方程

  de∗i=−e∗j∧(wij)a(Cartan 1) $$de^{*i}=-e^{*j}\land (w^i_j)_a \tag{Cartan 1}$$ (Rij)ab=dwij+wkj∧wik(Catan 2) $$(R^i_j)_{ab}=dw^i_j +w^k_j\land w^i_k\tag{Catan 2}$$ 其中 Rj♠♠i=Rd♠♠c(ej)c(e∗i)d $R_{\spadesuit \spadesuit i}^j=R^d_{\spadesuit \spadesuit c}(e_j)^c(e^{*i})_d$,这里的 c,d $c,d$都是抽象指标，不要理解成求和，就只是把对应的向量 ej $e_j$放到 c $c$这个孔里，把e∗i$e^{*i}$放到 d $d$这个孔里。

• 刚性标架 ∇agij=0 $$\nabla_a g_{ij}=0$$
• 练习3 证明对于刚性标架： wija=e∗i(∇aej) $$w_{ija}=e^{*}_i(\nabla_a e_j)$$ 和 wija=−wjia $$w_{ija}=-w_{jia}$$
• Ricci旋转系数 ωijk $\displaystyle\omega_{ijk}$ wijk:=wija(ek)a $$w_{ijk}:=w_{ija}(e_k)^a$$ 注意：这里表示把向量 ek $e_k$放到张量的孔 a $a$里面，不是求和。
• NP-Ricci旋转系数ωijk$\displaystyle\omega_{ijk}$ (wij)a=εcj∇aεic=?(∇aε∗i)εj $$(w^i_j)_a=\varepsilon _j^c\nabla_a \varepsilon ^i_c=?(\nabla_a \varepsilon^{*i})\varepsilon_j$$ wijk=(∇ki∗)(j) $$w^i_{jk}=(\nabla_k i^*)(j)$$
• 练习4 证明 将 wijk $w_{ijk}$的下标1，2互换而保持3，4不变，会得到 w132=w¯234,w342=w¯341 $$w_{132}=\bar{w}_{234},w_{342}=\bar{w}_{341}$$
• 练习5 写出NP 版本的Cartan 结构方程