矩阵Moore

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矩阵Moore

对于非方正矩阵而言，其逆矩阵没有定义。假设在下面的问题中，我们希望通过矩阵A的左逆B来求解线性方程：

**Ax = y**

等式两边乘以左逆B后，得到 x = By
取决于问题的形式，可能无法设计一个唯一的映射将A映射到B。
如果矩阵A的行数大于列数，那么上述方程可能没有解。如果矩阵A的行数小于列数，那么上述矩阵可能有多个解。

Moore-Penrose伪逆使我们在这类问题上取得了一定得进展。
矩阵A的伪逆定义为

计算伪逆的实际算法没有基于这个定义，而是使用下面的公式

其中，矩阵U,D,V是矩阵A奇异值分解后得到的矩阵。对角矩阵D的伪逆是其中非零元素取倒数之后再转置得到的。
当矩阵A的列数多于行数时，使用伪逆求解线性方程是众多可能解法中的一种。特别地，x=By是方程可行解中欧几里得范数最小的一个。
当矩阵A的行数多于列数时，可能没有解。在这种情况下，通过伪逆得到的x使得Ax和y的欧几里得距离最小。