Moore–Penrose pseudoinverse

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Moore–Penrose pseudoinverse

摩尔－彭若斯广义逆
在数学，特别是在线性代数中，一个矩阵的伪逆是广义的逆矩阵。其中最著名的伪逆要属摩尔－彭若斯广义逆 A+（Moore–Penrose pseudoinverse）。早在1903年，埃里克伊姆（Erik Ivar Fredholm）就引入了积分算子的伪逆的概念。之后摩尔－彭若斯广义逆先后被以利亚金·黑斯廷斯·摩尔（Eliakim Hastings Moore）（1920年）、阿恩·布耶哈马（Arne Bjerhammar）（1951年） 、罗杰·彭罗斯（1955年）发现或描述。
如果没有特别指明，矩阵的伪逆就是指摩尔－彭若斯广义逆。广义逆有时也被当作摩尔－彭若斯广义逆的同义词用。
摩尔－彭若斯广义逆常应用于求非一致线性方程组的最小范数最小二乘解（最小二乘法），并使得解的形式变得简单。矩阵的摩尔－彭若斯广义逆在实数域和复数域上都是唯一的，并且可以通过奇异值分解求得。

令PS表示到向量空间S上的正交投影。对于任意一个m乘n的复矩阵A，设R(A)表示A的值域空间。摩尔于1935年证明矩阵A的广义逆矩阵G必须满足的条件：

以上两个条件称为摩尔条件。满足摩尔条件的矩阵G称为矩阵A的摩尔逆矩阵。这样定义显然不方便使用，彭若斯于1955年提出了定义广义逆矩阵的另外一组条件：

以上四个条件常称摩尔-彭若斯条件。满足全部四个条件的矩阵G，就称为A的摩尔－彭若斯广义逆矩阵，记作A+。

从摩尔－彭若斯条件出发，彭若斯推导出了摩尔－彭若斯广义逆的一些性质：