给定硬币面值凑成金额共有多少种选法（动态规划）

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给定硬币面值凑成金额共有多少种选法（动态规划）

题目

硬币。给定数量不限的硬币，币值为25分、10分、5分和1分，编写代码计算n分有几种表示法。(结果可能会很大，你需要将结果模上1000000007)

示例1:

输入: n = 5
输出：2
解释: 有两种方式可以凑成总金额:
5=5
5=1+1+1+1+1

示例2:

输入: n = 10
输出：4
解释: 有四种方式可以凑成总金额:
10=10
10=5+5
10=5+1+1+1+1+1
10=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
说明：

注意：你可以假设，0 <= n (总金额) <= 1000000

解题思路

• 有1，5，10，25 这几种coins，求这几种coins构成n有几种方案：
• 首先不能直接用dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 5] + dp[i - 10] + dp[i - 25]来计算。因为这样的结果是***每次选的顺序也计算在内，如，dp[6] = dp[1] + dp[5]，其中dp[1] = 1,dp[5] = 2，选择是{1, 5} 和 {5, 1}，所以结果是不正确的。
• 这里选择用两维的数组来表示选择的方案数，即：dp[i][j] 表示前 i(i < 4) 个coins构成 j 的金额共有多少种方法。
• 状态转移方程：dp[i][j] = 第i个coins不选时方案数 + 第i个coins选择t次的方案数(t * 第 i 个coins的金额小于j)，即 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + {1 < t <= j / coins[i]} (dp[i - 1][j - coins[i] * t])。
• 上述选择第 i 个coins的循环方案可以优化为 dp[i][j - coins[i]]。
• MOD = 1e7 + 9，用于结果求余。
• 得到最终状态转移方程：dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i][j - coins[i]]) % MOD;

代码

class Solution {
public:int waysToChange(int n) {if(n == 0){return 0;}//dp打表，用dp[i][v]表示前i个***构成金额v有几种表示const int MOD = 1e9 + 7;int coins[4] = {1, 5, 10, 25};vector<vector<int>> dp(4, vector<int>(n + 1, 0));for(int i = 0; i < 4; ++i){for(int j = 0; j <= n; ++j){if(i == 0){dp[i][j] = 1;continue;}//枚举第i个***需要取几次// int t = j / coins[i];// for(int k = 0; k <= t; ++k){//     dp[i][j] += dp[i - 1][j - k * coins[i]];// }//不选0，选t次dp[i][j] = dp[i - 1][j];if(j - coins[i] >= 0){dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i][j - coins[i]]) % MOD;} }}return dp[3][n];}
};