高翔slam14讲 笔记三 李群与李代数

代数"/>

高翔slam14讲 笔记三 李群与李代数

由于在运动中旋转除了表示外，还需要对它进行估计和优化，而旋转矩阵自身带有约束，优化会带来很大的困难，所以引出李代数来对其进行优化！

1. 引出群的概念：
   
   变换矩阵和旋转矩阵对于乘法构成了群SO3 SE3

2. 由群 引出李群的概念，这里的SO3，SE3都可以被称为李群，具有连续（光滑）性质的群，SO3,SE3就是表示刚体在空间上的运动，这个就是连续的，所以这两个都是李群

3. 因为这个李群在乘法上是封闭的，这个表明在乘法上具有良好的性质，但是在加法上并不是，没有加法，所以难以取极限，求导等操作 这里会引出李代数

4. 
   
   可以完成对以上的公式的推导
   
   所以这里就直接存在了映射关系
   这里记忆可以一阶上面的符号为李代数 so3

5. 每一个李群都有一个李代数与之对应
   这里可以知道李代数的概念
   
   总结：
   
   用于表达旋矩阵的导数，刚好弥补了李群无法确定导数的这一个缺点
   同样也可解释se3这个李代数

6. 已知李代数的定义，即形式，现在我们需要解决映射关系是怎么样去计算的
   通过一系列公式，得到指数映射为这个式子

SE3为同样的推导
得出下面这个总体框架图

1. 引入了李代数之后就有了求导的途径

当so3李代数进行加法时，我们需要知道这个so3是一个怎么样的计算

由上面可以引出左乘与右乘模式，对一个旋转矩阵R2左乘一个微小的旋转矩阵，可以近似的看做上述加上一项这样的数

通过以上的举例得到 李群乘法与李代数加法的关系

1. 这里再引出重要的点，我们引出李代数是因为李群没有加法，李代数可以，这样就可以为求导做铺垫，所以如何描述SO3上李代数求导是一个重要的问题，同时有着比较重要的实际意义

BCH公式：so3上做李代数的加法时，并不是对应这两个SO3两个矩阵的乘积

通过第一个式可以看到，做成一个微小的旋转矩阵R1,，可以近似看做加上一项，
J的等式如下：

引出求导

这里过于复杂，只好看到实例，运用到实例之后再回来推了，总结不下去了，害!