4.1 数学期望

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4.1 数学期望

文章目录

• 离散型场合
• • 1、定义
  • 2、重要离散分布的期望
  • • 伯努利分布
    • 二项分布
    • 泊松
    • 几何分布
  • 3、例子
  • • 保险
    • 验血
• 连续型场合
• • 1、定义
  • 2、重要连续型分布的期望
  • • 正态分布 N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2)
    • 指数分布
    • 柯西分布
• 一般场合
• • 1、定义
  • 2、斯蒂尔切斯积分
• 随机变量函数的期望

离散型场合

1、定义

• ξ \xi ξ:离散型随机变量
• 取值 x i x_i xi​对应概率为 p i p_i pi​
• 若级数 ∑ i = 1 ∞ x i p i \sum\limits_{i=1}^{\infty}x_ip_i i=1∑∞​xi​pi​绝对收敛，称级数为 ξ \xi ξ的数学期望，简称期望或均值（mean），记 E ξ E\xi Eξ
• 当 ∑ i = 1 ∞ ∣ x i ∣ p i \sum\limits_{i=1}^{\infty}|x_i|p_i i=1∑∞​∣xi​∣pi​发散时， ξ \xi ξ的期望不存在
• 期望由概率分布唯一确定

2、重要离散分布的期望

伯努利分布

• A A A发生的概率为 p p p，期望也为 p p p

二项分布

• p k = ( n k ) p k q n − k , k = 0 , 1 , . . . , n p_k=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^kq^{n-k},k=0,1,...,n pk​=(nk​)pkqn−k,k=0,1,...,n
• 期 望 = ∑ k = 1 n k p k = ∑ k = 1 n k ( n k ) p k q n − k 期望=\sum\limits_{k=1}^nkp_k=\sum\limits_{k=1}^nk\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}p^kq^{n-k} 期望=k=1∑n​kpk​=k=1∑n​k(nk​)pkqn−k = n p ∑ k = 1 n k ( n − 1 k − 1 ) p k − 1 q n − k =np\sum\limits_{k=1}^nk\begin{pmatrix}n-1\\k-1\end{pmatrix}p^{k-1}q^{n-k} =npk=1∑n​k(n−1k−1​)pk−1qn−k = n p ( p + q ) n − 1 = n p =np(p+q)^{n-1}=np =np(p+q)n−1=np

泊松

• p k = λ k k ! e − λ , k = 0 , 1 , 2 , . . . p_k=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},k=0,1,2,... pk​=k!λk​e−λ,k=0,1,2,...
• ∑ k = 0 ∞ k p k = ∑ k = 1 ∞ k ⋅ λ k k ! e − λ \sum\limits_{k=0}^{\infty}kp_k=\sum\limits_{k=1}^{\infty}k\cdot\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} k=0∑∞​kpk​=k=1∑∞​k⋅k!λk​e−λ = λ e − λ ∑ k = 1 ∞ λ k − 1 ( k − 1 ) ! = λ =\lambda e^{-\lambda}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}=\lambda =λe−λk=1∑∞​(k−1)!λk−1​=λ

几何分布

• p k = q k − 1 p , k = 1 , 2 , . . . p_k=q^{k-1}p,k=1,2,... pk​=qk−1p,k=1,2,...
• ∑ k = 1 ∞ k p k = ∑ k = 1 ∞ k q k − 1 p \sum\limits_{k=1}^{\infty}kp_k=\sum\limits_{k=1}^{\infty}kq^{k-1}p k=1∑∞​kpk​=k=1∑∞​kqk−1p = p ( 1 + 2 q + 3 q 2 + . . . ) =p(1+2q+3q^2+...) =p(1+2q+3q2+...) = p ( q + q 2 + q 3 + . . . ) ′ = p ( q 1 − q ) ′ =p(q+q^2+q^3+...)'=p(\frac q{1-q})' =p(q+q2+q3+...)′=p(1−qq​)′ = p 1 ( 1 − q ) 2 = 1 p =p\frac1{(1-q)^2}=\frac1p =p(1−q)21​=p1​

3、例子

保险

• 保险业收取保险费的原则：所有被保险人交的保险费=他们能得到的赔偿金的期望
• 设：
  • 出事概率： p p p
  • 投保人数： N N N
  • 纯保险费： a a a
  • 出事赔偿金： b b b
• 求 a , b a,b a,b
• 推导：根据原则有 N a = ∑ k = 0 N ( N k ) p k ( 1 − p ) N − k ⋅ k b Na=\sum\limits_{k=0}^{N}\begin{pmatrix}N\\k\end{pmatrix}p^k(1-p)^{N-k}\cdot kb Na=k=0∑N​(Nk​)pk(1−p)N−k⋅kb = N p b ∑ k = 1 N ( N − 1 k − 1 ) p k − 1 ( 1 − p ) N − k =Npb\sum\limits_{k=1}^{N}\begin{pmatrix}N-1\\k-1\end{pmatrix}p^{k-1}(1-p)^{N-k} =Npbk=1∑N​(N−1k−1​)pk−1(1−p)N−k = N p b =Npb =Npb于是得到 a = p b a=pb a=pb

验血

• 背景：N个人验血，有两种方式化验
  • （1）每个人都验，N次
  • （2）把 k k k个人的血混合起来
    • 结果阴，1次
    • 阳，k+1次
  • 阳性概率： p p p；阴性概率： q = 1 − p q=1-p q=1−p
• 解：设每个人需要化验的次数为 ξ = 1 k 或 1 + 1 k \xi=\frac1k或1+\frac1k ξ=k1​或1+k1​
  • k k k个人的混血为阳的概率： 1 − q k 1-q^k 1−qk
  • 分布列为： P ( ξ = 1 k ) = q k P(\xi=\frac{1}{k})=q^k P(ξ=k1​)=qk P ( ξ = 1 + 1 k ) = 1 − q k P(\xi=1+\frac{1}{k})=1-q^k P(ξ=1+k1​)=1−qk
  • 得 E ξ = 1 − q k + 1 k E\xi=1-q^k+\frac1k Eξ=1−qk+k1​
• 分析：主要看 1 k − q k 与 0 \frac1k-q^k与0 k1​−qk与0的关系决定采取哪一种方法

连续型场合

• 离散型期望表示 ∑ x i p i \sum x_ip_i ∑xi​pi​，推广至连续型
• 设随机变量的密度函数为 p ( x ) p(x) p(x)，由微积分思想，取很密的分点 x 0 < x 1 < . . . < x n x_0<x_1<...<x_n x0​<x1​<...<xn​
• ξ \xi ξ落在 [ x i , x i + 1 ) [x_i,x_{i+1}) [xi​,xi+1​)中的概率近似可表示为： p ( x i ) ( x i + 1 − x i ) p(x_i)(x_{i+1}-x_i) p(xi​)(xi+1​−xi​)相当于离散型每个点对应的概率加起来
• 所以期望可以写成 ∑ i x i p ( x i ) ( x i + 1 − x i ) = ∫ − ∞ ∞ x p ( x ) d x \sum\limits_ix_ip(x_i)(x_{i+1}-x_i)=\int_{-\infty}^{\infty}xp(x)dx i∑​xi​p(xi​)(xi+1​−xi​)=∫−∞∞​xp(x)dx

1、定义

• ξ \xi ξ是连续型随机变量，密度函数为 p ( x ) p(x) p(x)
• 当积分 ∫ − ∞ ∞ x p ( x ) d x \int_{-\infty}^{\infty}xp(x)dx ∫−∞∞​xp(x)dx绝对收敛时
• 称其为 ξ \xi ξ的期望，记为 E ξ = ∫ − ∞ ∞ x p ( x ) d x E\xi=\int_{-\infty}^{\infty}xp(x)dx Eξ=∫−∞∞​xp(x)dx

2、重要连续型分布的期望

正态分布 N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2)

• ∫ − ∞ ∞ x p ( x ) d x = ∫ − ∞ ∞ x 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 d x \int_{-\infty}^{\infty}xp(x)dx=\int_{-\infty}^{\infty}x\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx ∫−∞∞​xp(x)dx=∫−∞∞​x2π ​σ1​e2σ2−(x−μ)2​dx
• 作变量代换 z = x − μ σ : z=\frac{x-\mu}{\sigma}: z=σx−μ​: = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ( σ z + μ ) e − z 2 2 d z =\frac1{{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}(\sigma z+\mu)e^{-\frac{z^2}2}dz =2π1​∫−∞∞​(σz+μ)e−2z2​dz = μ 2 π ∫ − ∞ ∞ e − z 2 2 d z = μ =\frac{\mu}{{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{z^2}2}dz=\mu =2πμ​∫−∞∞​e−2z2​dz=μ
• 注意: ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi} ∫−∞∞​e−x2dx=π ​

指数分布

• p ( x ) = λ e − λ x , x ≥ 0 p(x)=\lambda e^{-\lambda x},x\ge 0 p(x)=λe−λx,x≥0
• ∫ 0 ∞ x λ e − λ x d x = 1 λ \int_0^{\infty}x\lambda e^{-\lambda x}dx=\frac{1}{\lambda} ∫0∞​xλe−λxdx=λ1​

柯西分布

• p ( x ) = 1 π ⋅ 1 1 + x 2 p(x)=\frac1{\pi}\cdot\frac1{1+x^2} p(x)=π1​⋅1+x21​
• ∫ − ∞ ∞ ∣ x ∣ 1 π ( 1 + x 2 ) d x = ∞ \int_{-\infty}^{\infty}|x|\frac1{\pi(1+x^2)}dx=\infty ∫−∞∞​∣x∣π(1+x2)1​dx=∞故其期望不存在

一般场合

这里的“一般场合”指的是已知随机变量的分布函数 F ( x ) F(x) F(x)

• 与连续型场合类似，先做分割： x 0 < x 1 < . . . < x n x_0<x_1<...<x_n x0​<x1​<...<xn​
• 则 ξ \xi ξ落在 [ x i , x i + 1 ) [x_i,x_{i+1}) [xi​,xi+1​)中的概率为 F ( x i + 1 ) − F ( x i ) ≈ p ( x i ) F(x_{i+1})-F(x_i)\approx p(x_i) F(xi+1​)−F(xi​)≈p(xi​)，故期望为 ∑ i x i [ F ( x i + 1 ) − F ( x i ) ] = ∫ − ∞ ∞ x d F ( x ) \sum\limits_ix_i[F(x_{i+1})-F(x_i)]=\int_{-\infty}^{\infty}xdF(x) i∑​xi​[F(xi+1​)−F(xi​)]=∫−∞∞​xdF(x)

1、定义

• ξ \xi ξ的分布函数为 F ( x ) F(x) F(x)
• 若 E ξ = ∫ − ∞ ∞ x d F ( x ) E\xi=\int_{-\infty}^{\infty}xdF(x) Eξ=∫−∞∞​xdF(x)绝对收敛，才记为 ξ \xi ξ的期望

2、斯蒂尔切斯积分

• I = ∫ − ∞ ∞ g ( x ) d F ( x ) I=\int_{-\infty}^{\infty}g(x)dF(x) I=∫−∞∞​g(x)dF(x)
• 性质：
  • ①离散型时， F ( x ) F(x) F(x)为跳跃函数，在 x i x_i xi​具有跃度 p i p_i pi​时， I = ∑ i g ( x i ) p i I=\sum\limits_ig(x_i)p_i I=i∑​g(xi​)pi​
  • ②当有 F ′ ( x ) = p ( x ) F'(x)=p(x) F′(x)=p(x)时，有 I = ∫ − ∞ ∞ g ( x ) p ( x ) d x I=\int_{-\infty}^{\infty}g(x)p(x)dx I=∫−∞∞​g(x)p(x)dx
  • ③线性性质：无论是 g ( x ) g(x) g(x)还是 F ( x ) F(x) F(x)的线性组合都满足该性质
  • ④可加性
  • ⑤若 g ( x ) ≥ 0 , F ( x ) g(x)\ge 0,F(x) g(x)≥0,F(x)单调不减， b > a b>a b>a，则 I ≥ 0 I\ge 0 I≥0

随机变量函数的期望

• 已知：随机变量 ξ \xi ξ
  • ξ \xi ξ的函数 η = g ( ξ ) ( g ( x ) 是 一 元 博 雷 尔 ) \eta=g(\xi)(g(x)是一元博雷尔) η=g(ξ)(g(x)是一元博雷尔)
  • ξ \xi ξ的分布函数是 F ξ ( x ) F_{\xi}(x) Fξ​(x)
• 则 g ( ξ ) g(\xi) g(ξ)的期望有：
  • 离散型： ∑ i g ( x i ) [ F ξ ( x i + 1 ) − F ξ ( x i ) ] \sum\limits_{i}g(x_i)[F_{\xi}(x_{i+1})-F_{\xi}(x_i)] i∑​g(xi​)[Fξ​(xi+1​)−Fξ​(xi​)]
  • 连续型： E g ( ξ ) = ∫ − ∞ ∞ g ( x ) d F ξ ( x ) E g(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty}g(x)dF_{\xi}(x) Eg(ξ)=∫−∞∞​g(x)dFξ​(x)同时也有 E η = ∫ − ∞ ∞ y d F η ( y ) E\eta=\int_{-\infty}^{\infty}ydF_{\eta}(y) Eη=∫−∞∞​ydFη​(y)以上俩积分相等，必须要两个积分同时存在且相等才能说 η \eta η的期望存在