从欧氏几何到无穷小分析

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从欧氏几何到无穷小分析

在两千多年前，欧几里德（Euclid）从”点、线、面、直角、园形、相等,.....”这23个普通几何概念出发，借助以下5条”公理“（也叫”公设‘）:

     一、"To draw astraight line from any point to any point."

1. 二、"To produce [extend] afinite straight line continuously in a straight line."

   三、"To describe acirclewith any centre and distance [radius]."

   四、"That all right angles are equal to one another." wu

   五、The parallel postulate:"That, if a straight line falling on two straight lines make the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which are the angles less than the two right angles."

演绎出一本数学名著《几何原本》，其中包含有469个逻辑推理的”结论“（即所谓”定理“）。这本历史性的巨著影响了人类社会的发展进程，直到现在。为什么？

      我们是现代文明人，早上吃油条，中午逛超市，晚上打麻将，见多又识广，对欧几里德《原本》不屑一顾。但是，数学家却不然，喜欢”啃书“，咬文嚼字，刨根究底。对《原本》公设二里面的”extend continiously“（连续不断地延长）以及公设五里面的”produced indefinitely“（不确定地延伸）究竟是什么意思，数学家们感到很好奇。

          我们注意到：”At the turn of the 20th century, O. Stolz, P. du Bois-Reymons,G.Veronese, and others produced controversial work onnon-Archimedean models（非阿基米德模型）of Euclidean geometry, in which the distance between two points may be infinite or infinitesimal（无穷小）,in the Newton–Leibnizsense. Fifty years later(五十年之后)，A.Robinson provided a rigorous logical foundation for Veronese's work.“这段话是什么意思呢？

         这段话的意思是，在上世纪的初期就有许多数学家开始研究欧几里德几何的所谓”非阿基米德模型“（即富含无穷小的连续统模型）。这是对欧几里德《几何原本》的补充研究。在世界范围内，这是一种发展的大趋势。这一切探究的结果最终导致1960年美国数学家A.Robinson创立了”非标准分析“；1976年，J.Keisler将其思想变为大学低年级的微积分教材；我们的《微积分阅览室》就是为此”应运而生“。

             我们正处在世界数学发展的浪潮中，只是我们自己”浑然不觉“而已，每天牵着小狗狗溜大街在等死。建设强大国家需要基础理论，尤其是先进的微积分学。