RELAX算法

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RELAX算法

RELAX算法

y ( n ) = ∑ k = 1 K a k s k ( n ) n = 1 , ⋯ , N y(n) = \sum_{k=1}^{K} a_k s_k(n) \qquad n=1,\cdots,N y(n)=k=1∑K​ak​sk​(n)n=1,⋯,N

[ y ( 1 ) y ( 2 ) ⋮ y ( N ) ] = [ a 1 a 2 ⋮ a K ] ⋅ [ s 1 ( 1 ) s 2 ( 1 ) ⋯ s K ( 1 ) s 1 ( 2 ) s 2 ( 2 ) ⋯ s K ( 2 ) ⋮ s 1 ( N ) s 2 ( N ) ⋯ s K ( N ) ] + [ e ( 1 ) e ( 2 ) ⋮ e ( N ) ] \begin{bmatrix} y(1) \\ y(2) \\ \vdots \\y(N) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_K \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} s_1(1) & s_2(1) \cdots & s_K(1)\\ s_1(2) & s_2(2) \cdots & s_K(2) \\ \vdots \\ s_1(N)& s_2(N) \cdots & s_K(N) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} e(1) \\ e(2) \\ \vdots \\e(N) \end{bmatrix} ​y(1)y(2)⋮y(N)​ ​= ​a1​a2​⋮aK​​ ​⋅ ​s1​(1)s1​(2)⋮s1​(N)​s2​(1)⋯s2​(2)⋯s2​(N)⋯​sK​(1)sK​(2)sK​(N)​ ​+ ​e(1)e(2)⋮e(N)​ ​

根据最小二乘准则，问题转化为：
{ f k , a k } k = 1 K = a r g m i n ∣ ∣ y − ∑ k = 1 K a k ω ( f k ) ∣ ∣ 2 \{ f_k , a_k\}_{k=1}^{K} = arg \quad min \quad ||y-\sum_{k=1}^{K} a_k \omega(f_k)||^2 {fk​,ak​}k=1K​=argmin∣∣y−k=1∑K​ak​ω(fk​)∣∣2
ω ( f k ) = [ 1 e j 2 π f k ⋮ e j 2 π f k ( N − 1 ) ] \omega(f_k) = \begin{bmatrix} 1 \\ e^{j2\pi f_k} \\ \vdots \\e^{j2 \pi f_k(N-1)} \end{bmatrix} ω(fk​)= ​1ej2πfk​⋮ej2πfk​(N−1)​ ​
参数估计：
f K ^ = a r g m i n ∣ ∣ ω H ( f k ) y k ∣ ∣ 2 \hat{f_K} = arg \quad min \quad || \omega^H(f_k) y_k ||^2 fK​^​=argmin∣∣ωH(fk​)yk​∣∣2
a k = ω H ( f k ) y k N a_k = \frac{\omega^H(f_k) y_k}{N} ak​=NωH(fk​)yk​​
收敛性由第p个结果和（p-1）个结果的差小于预设的阈值 ϵ \epsilon ϵ，则算法结束。

迭代过程描述如下：

1. 取i=1，令Y(1,:) = y，得到信号初始估计： a 1 a_1 a1​、 f 1 f_1 f1​
2. 取i=2，令Y(2,:) = y − ∑ k = 1 , k ≠ i K a k s k ( n ) y - \sum_{k=1,k \neq i} ^{K} a_k s_k(n) y−∑k=1,k=iK​ak​sk​(n)，去除第一个频率分量，再得到第二个信号的初始估计： a 2 a_2 a2​、 f 2 f_2 f2​；重新计算第一个信号的初始估计 a 1 a_1 a1​、 f 1 f_1 f1​，反复迭代至收敛。
3. 取i=3，令Y(3,:) = y − ∑ k = 1 , k ≠ i K a k s k ( n ) y - \sum_{k=1,k \neq i} ^{K} a_k s_k(n) y−∑k=1,k=iK​ak​sk​(n)，去除第一个频率分量，其中 a 1 a_1 a1​、 f 1 f_1 f1​、 a 2 a_2 a2​、 f 2 f_2 f2​由第二步所得，再得到第三个信号的初始估计： a 3 a_3 a3​、 f 3 f_3 f3​；由获得的 a 2 a_2 a2​、 f 2 f_2 f2​、 a 3 a_3 a3​、 f 3 f_3 f3​重新计算参数 a 1 a_1 a1​、 f 1 f_1 f1​；再由 a 1 a_1 a1​、 f 1 f_1 f1​、 a 3 a_3 a3​、 f 3 f_3 f3​重新计算参数 a 2 a_2 a2​、 f 2 f_2 f2​；再由 a 1 a_1 a1​、 f 1 f_1 f1​、 a 2 a_2 a2​、 f 2 f_2 f2​重新计算参数 a 3 a_3 a3​、 f 3 f_3 f3​；反复迭代至收敛。
4. …
5. 重复上述步骤直至i=K

问题：只能计算归一化频率…