【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（7）：逆矩阵

线性代数（7）：逆矩阵"/>

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（7）：逆矩阵

文章目录

• 前言
• 往期文章
• 2.3 逆矩阵
• • 定义
  • 写法
  • 定理1
  • • 内容
    • 证明
  • 定理2
  • • 内容
    • 证明
    • 推论​
    • 运算规律
• 结语

前言

Hello！小伙伴！
非常感谢您阅读海轰的文章，倘若文中有错误的地方，欢迎您指出～
 
自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭
昵称：海轰
标签：程序猿｜C++选手｜学生
简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖…已保研。目前正在学习C++/Linux/Python
学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！
 
机器学习小白阶段
文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习
知其然 知其所以然！

往期文章

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（1）：二阶与三阶行列式、全排列及其逆序数

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（2）：n阶行列式、对换

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（3）：行列式的性质

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（4）：行列式按行（列）展开

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（5）：克拉默法则

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（6）：矩阵的运算

2.3 逆矩阵

定义

对于n阶矩阵 A A A，如果有一个n阶矩阵 B B B，使得
A B = B A = E AB=BA=E AB=BA=E

说明矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，简称逆阵

记住

如果矩阵A是可逆的，那么A的逆矩阵一定是唯一的。

证：
​
假设 B、C均是A的逆矩阵，有

B = B E = B ( A C ) = ( B A ) C = E C = C B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C

得出 B=C

所以
​
A的逆矩阵是唯一的。

写法

A A A的逆矩阵记作 A − 1 A^{-1} A−1
​
若 A B = B A = E ， 则 B = A − 1 AB=BA=E，则B=A^{-1} AB=BA=E，则B=A−1

定理1

内容

若矩阵A可逆，那么 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\neq 0 ∣A∣​=0

证明

因为 矩阵A可逆
​
那么一定有 A − 1 A^{-1} A−1，使得

A A − 1 = E AA^{-1}=E AA−1=E

推出

∣ A A − 1 ∣ = ∣ E ∣ = = > ∣ A ∣ ∣ A − 1 ∣ = ∣ E ∣ = 1 = = > ∣ A ∣ ≠ 0 |AA^{-1}|=|E| \\==> |A||A^{-1}|=|E|=1\\ ==> |A|\neq 0 ∣AA−1∣=∣E∣==>∣A∣∣A−1∣=∣E∣=1==>∣A∣​=0

定理2

内容

若 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\neq 0 ∣A∣​=0，则矩阵 A A A可逆，且 A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^* A−1=∣A∣1​A∗，其中 A ∗ A^* A∗为 A A A的伴随矩阵

证明

已知 A A ∗ = ∣ A ∣ E AA^*=|A|E AA∗=∣A∣E （|A|是一个常数）

因为 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\neq 0 ∣A∣​=0

所以 1 ∣ A ∣ A A ∗ = A 1 ∣ A ∣ A ∗ = A ( 1 ∣ A ∣ A ∗ ) = E \frac{1}{|A|}AA^*=A\frac{1}{|A|}A^*=A(\frac{1}{|A|}A^*)=E ∣A∣1​AA∗=A∣A∣1​A∗=A(∣A∣1​A∗)=E

又因为 A ∗ A = A A ∗ A^*A=AA^* A∗A=AA∗

所以 1 ∣ A ∣ A A ∗ = 1 ∣ A ∣ A ∗ A = ( 1 ∣ A ∣ A ∗ ) A = E \frac{1}{|A|}AA^*=\frac{1}{|A|}A^*A=(\frac{1}{|A|}A^*)A=E ∣A∣1​AA∗=∣A∣1​A∗A=(∣A∣1​A∗)A=E

由

{ A ( 1 ∣ A ∣ A ∗ ) = E ( 1 ∣ A ∣ A ∗ ) A = E \begin{cases} A(\frac{1}{|A|}A^*)=E \\ (\frac{1}{|A|}A^*)A=E \end{cases} {A(∣A∣1​A∗)=E(∣A∣1​A∗)A=E​

得知 矩阵A存在逆矩阵，

且 A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^* A−1=∣A∣1​A∗

证明完成！

推论​

若 A B = E （ 或 B A = E AB=E（或BA=E AB=E（或BA=E，则 B = A − 1 B=A^{-1} B=A−1

证明：

因为 A B = E AB=E AB=E

所以 ∣ A ∣ ∣ B ∣ = ∣ E ∣ = 1 |A||B|=|E|=1 ∣A∣∣B∣=∣E∣=1

故 ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\neq0 ∣A∣​=0， A − 1 A^{-1} A−1存在

B = E B = ( A − 1 A ) B = A − 1 ( A B ) = A − 1 E = A − 1 B=EB=(A^{-1}A)B=A^{-1}(AB)=A^{-1}E=A^{-1} B=EB=(A−1A)B=A−1(AB)=A−1E=A−1

证明完成！

运算规律

方阵的逆矩阵满足运算规律
​
（1） 若 A A A可逆，则 A − 1 A^{-1} A−1也可逆，且 ( A − 1 ) − 1 = A (A^{-1})^{-1}=A (A−1)−1=A

证明：

因为 A A A可逆

所以

A A − 1 = A − 1 A = E AA^{-1}=A^{-1}A=E AA−1=A−1A=E

这里令 B = A B=A B=A,得到

B A − 1 = A − 1 B = E BA^{-1}=A^{-1}B=E BA−1=A−1B=E

推出

A − 1 可 逆 A^{-1}可逆 A−1可逆

且

( A − 1 ) − 1 = B = A (A^{-1})^{-1}=B=A (A−1)−1=B=A

证明完成！

(2) 若 A A A可逆，数 λ ≠ 0 \lambda \neq 0 λ​=0，则 λ A \lambda A λA可逆，且 ( λ A ) − 1 = 1 λ A − 1 (\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}A^{-1} (λA)−1=λ1​A−1

证明：

因为 A A A可逆

所以

A B = B A = E AB=BA=E AB=BA=E

对于 λ A \lambda A λA来说

一定存在 1 λ B \frac{1}{\lambda} B λ1​B使得

( λ A ) ( 1 λ B ) = ( 1 λ B ) ( λ A ) = E (\lambda A)(\frac{1}{\lambda}B)=(\frac{1}{\lambda}B)(\lambda A)=E (λA)(λ1​B)=(λ1​B)(λA)=E
所以

λ A \lambda A λA 也可逆

同时

( λ A ) − 1 = 1 λ B = 1 λ A − 1 (\lambda A)^{-1}=\frac{1}{\lambda}B=\frac{1}{\lambda}A^{-1} (λA)−1=λ1​B=λ1​A−1

(3) 若 A 、 B A、B A、B为同阶矩阵且均可逆，则 A B AB AB均可逆，且 ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} (AB)−1=B−1A−1
​
证明：

因为 A 、 B A、B A、B为同阶矩阵且均可逆

所以

• ​ A C = C A = E ( C = A − 1 ) AC=CA=E (C=A^{-1}) AC=CA=E(C=A−1)
• ​ B D = D B = E ( D = B − 1 ) BD=DB=E (D=B^{-1}) BD=DB=E(D=B−1)

因为

• ​ ( A B ) ( D C ) = A ( B D ) C = A E C = A C = E (AB)(DC)=A(BD)C=AEC=AC=E (AB)(DC)=A(BD)C=AEC=AC=E
• ​ ( D C ) ( A B ) = D ( C A ) B = D E B = D B = E (DC)(AB)=D(CA)B=DEB=DB=E (DC)(AB)=D(CA)B=DEB=DB=E

所以

A B AB AB可逆，且 ( A B ) − 1 = D C = B − 1 A − 1 (AB)^{-1}=DC=B^{-1}A^{-1} (AB)−1=DC=B−1A−1

证明完成！

(4) 若 A A A可逆，则 A T A^{T} AT也可逆，且 ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T (A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T} (AT)−1=(A−1)T

证明：

因为 A A A可逆

则

A A − 1 = A − 1 A = E AA^{-1}=A^{-1}A=E AA−1=A−1A=E

进行转置，得

( A A − 1 ) T = ( A − 1 A ) T = E T (AA^{-1})^T=(A^{-1}A)^T=E^T (AA−1)T=(A−1A)T=ET

由 ( A B ) T = B T A T (AB)^T=B^TA^T (AB)T=BTAT 得

( A − 1 ) T A T = A T ( A − 1 ) T = E T = E (A^{-1})^TA^T=A^T(A^{-1})^T=E^T=E (A−1)TAT=AT(A−1)T=ET=E

所以

A T A^T AT可逆

且

( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T (AT)−1=(A−1)T

证明完成！

结语

文章仅作为学习笔记，记录从0到1的一个过程

希望对您有所帮助，如有错误欢迎小伙伴指正～

我是 海轰ଘ(੭ˊᵕˋ)੭

如果您觉得写得可以的话，请点个赞吧

谢谢支持 ❤️