高等数学(积分学)

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高等数学(积分学)

目录

• 一. 不定积分的概念
• • 1.1 原函数
  • 1.2 不定积分
• 二. 直接积分法
• • 2.1 法则
  • 2.2 公式
• 三. 第一类换元法(凑微分)
• 四. 第二类换元法
• 五. 分部积分法
• 六. 定积分
• • 6.1. 定积分的性质
• 七. 牛顿-莱布尼兹公式(N-L)
• 八. 定积分的分部积分法
• 九. 定积分的几何应用
• • 9.1 平面图形的面积
  • 9.2 旋转体的体积
• 十. 广义积分
• 十一. 变上限积分

一. 不定积分的概念

1.1 原函数

( x 2 ) ′ = ? (x^2)'=? (x2)′=? \quad \quad ( ? ) ′ = 2 x (?)'=2x (?)′=2x
( 原函数 ) ′ = 导数 (原函数)'=导数 (原函数)′=导数

\quad
思考一下 ( ? ) ′ = 2 x (?)'=2x (?)′=2x
有 x 2 , x 2 + 1 , x 2 − 6 , x 2 − e . . . x^2, x^2+1, x^2-6, x^2-e... x2,x2+1,x2−6,x2−e...
我们用 x 2 + C x^2+C x2+C来代表全体原函数

\quad

1.2 不定积分

F ′ ( x ) = f ( x ) F'(x)=f(x) F′(x)=f(x)

∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C \int f(x)dx=F(x)+C ∫f(x)dx=F(x)+C \quad (不定积分)
\quad
例题1: ∫ sin ⁡ x d x \int \sin x dx ∫sinxdx
( − cos ⁡ x ) ′ = sin ⁡ x (-\cos x)'=\sin x (−cosx)′=sinx
∫ sin ⁡ x d x = − cos ⁡ x + C \int \sin x dx=-\cos x+C ∫sinxdx=−cosx+C

\quad
例题2: ∫ e x d x = e x + C \int e^xdx=e^x+C ∫exdx=ex+C

\quad
例题3: ∫ d x = ∫ 1 d x = x + C \int dx=\int 1dx=x+C ∫dx=∫1dx=x+C

\quad
例题4: ∫ 0 d x = C \int 0dx=C ∫0dx=C

\quad
例题5: ∫ x x d x = x 3 4 + C \int \sqrt{x\sqrt{x}}dx=x^{\frac{3}{4}}+C ∫xx ​ ​dx=x43​+C

\quad
\quad

二. 直接积分法

2.1 法则

加减: ∫ ( sin ⁡ x ± e x ) d x = ∫ sin ⁡ x d x ± ∫ e x d x \int (\sin x \pm e^x)dx=\int \sin xdx \pm \int e^xdx ∫(sinx±ex)dx=∫sinxdx±∫exdx
数乘: ∫ c sin ⁡ x d x = c ∫ sin ⁡ x d x \int c \sin xdx=c\int \sin xdx ∫csinxdx=c∫sinxdx \quad (常数可以提出来)

特别注意: 积分不能分开乘除
如:
∫ sin ⁡ x ∗ cos ⁡ x d x ≠ ∫ sin ⁡ x d x ∗ ∫ cos ⁡ x d x \int \sin x*\cos xdx \neq \int \sin xdx * \int \cos xdx ∫sinx∗cosxdx=∫sinxdx∗∫cosxdx
∫ x cos ⁡ x d x ≠ x ∫ cos ⁡ x d x \int x \cos xdx \neq x\int \cos xdx ∫xcosxdx=x∫cosxdx \quad (x不能提出来)
∫ cos ⁡ x x d x ≠ ∫ ∫ cos ⁡ x d x ∫ x d x \int \frac{\cos x}{x}dx \neq \int \frac{\int \cos xdx}{\int x dx} ∫xcosx​dx=∫∫xdx∫cosxdx​

\quad

2.2 公式

∫ x 3 d x = 1 4 x 4 + C \int x^3 dx=\frac{1}{4}x^4+C ∫x3dx=41​x4+C

∫ 3 x d x = 3 x ln ⁡ 3 + C \int 3^x dx=\frac{3^x}{\ln 3}+C ∫3xdx=ln33x​+C

∫ 1 x d x = ln ⁡ ∣ x ∣ + C \int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C ∫x1​dx=ln∣x∣+C

∫ sec ⁡ 2 x d x = tan ⁡ x + C \int \sec^2xdx=\tan x+C ∫sec2xdx=tanx+C

∫ c s c 2 x d x = − cot ⁡ x + C \int csc^2xdx=-\cot x+C ∫csc2xdx=−cotx+C

∫ tan ⁡ x sec ⁡ x d x = sec ⁡ x + C \int \tan x \sec xdx=\sec x+C ∫tanxsecxdx=secx+C

∫ cot ⁡ x csc ⁡ d x = − csc ⁡ x + C \int \cot x \csc dx=-\csc x+C ∫cotxcscdx=−cscx+C

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin ⁡ x + C \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C ∫1−x2 ​1​dx=arcsinx+C

∫ − 1 1 − x 2 d x = arccos ⁡ x + C \int \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arccos x+C ∫1−x2 ​−1​dx=arccosx+C

∫ 1 1 + x 2 d x = arctan ⁡ x + C \int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C ∫1+x21​dx=arctanx+C

\quad
例题6: ∫ ( x + 1 ) 2 x d x \int \frac{(x+1)^2}{x}dx ∫x(x+1)2​dx
= ∫ x 2 + 2 x + 1 x d x \int \frac{x^2+2x+1}{x}dx ∫xx2+2x+1​dx
= ∫ x + 2 + 1 x d x \int x+2+\frac{1}{x}dx ∫x+2+x1​dx
= 1 2 x 2 + 2 x + ln ⁡ ∣ x ∣ + C \frac{1}{2}x^2+2x+\ln |x|+C 21​x2+2x+ln∣x∣+C

\quad
例题7: ∫ x 2 + x e x + 1 x d x \int \frac{x^2+\sqrt{x}e^x+1}{\sqrt{x}}dx ∫x ​x2+x ​ex+1​dx
= ∫ x 2 x + e x + 1 x d x \int \frac{x^2}{\sqrt{x}}+e^x+\frac{1}{\sqrt{x}}dx ∫x ​x2​+ex+x ​1​dx
= ∫ x x + e x + 1 x d x \int x\sqrt{x}+e^x+\frac{1}{\sqrt{x}}dx ∫xx ​+ex+x ​1​dx
= ∫ x 3 2 + e x + x − 1 2 d x \int x^{\frac{3}{2}}+e^x+x^{-\frac{1}{2}}dx ∫x23​+ex+x−21​dx
= 2 5 x 5 2 + e x + 2 x 1 2 + C \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+e^x+2x^{\frac{1}{2}}+C 52​x25​+ex+2x21​+C

\quad
例题8: ∫ 3 x e x d x \int 3^xe^x dx ∫3xexdx
= ∫ ( 3 e ) x d x \int (3e)^xdx ∫(3e)xdx
= ( 3 e ) x ln ⁡ 3 e + C \frac{(3e)^x}{\ln3e}+C ln3e(3e)x​+C

\quad
例题9: ∫ ( x + 1 ) 2 x ( 1 + x 2 ) d x \int \frac{(x+1)^2}{x(1+x^2)}dx ∫x(1+x2)(x+1)2​dx
= ∫ x 2 + 1 x ( 1 + x 2 ) + 2 x x ( 1 + x 2 ) d x \int \frac{x^2+1}{x(1+x^2)}+\frac{2x}{x(1+x^2)}dx ∫x(1+x2)x2+1​+x(1+x2)2x​dx

\quad
例题10: ∫ 1 + 3 x 2 x 2 ( 1 + x 2 ) d x \int \frac{1+3x^2}{x^2(1+x^2)}dx ∫x2(1+x2)1+3x2​dx
= ∫ 3 x 2 x 2 ( 1 + x 2 ) + 1 x 2 ( 1 + x 2 ) d x \int \frac{3x^2}{x^2(1+x^2)}+\frac{1}{x^2(1+x^2)}dx ∫x2(1+x2)3x2​+x2(1+x2)1​dx
= ∫ 3 ( 1 + x 2 ) + 1 + x 2 − x 2 x 2 ( 1 + x 2 ) d x \int \frac{3}{(1+x^2)}+\frac{1+x^2-x^2}{x^2(1+x^2)}dx ∫(1+x2)3​+x2(1+x2)1+x2−x2​dx
= ∫ 3 ( 1 + x 2 ) + 1 + x 2 x 2 ( 1 + x 2 ) − x 2 x 2 ( 1 + x 2 ) d x \int \frac{3}{(1+x^2)}+\frac{1+x^2}{x^2(1+x^2)}-\frac{x^2}{x^2(1+x^2)}dx ∫(1+x2)3​+x2(1+x2)1+x2​−x2(1+x2)x2​dx
= 3 arctan ⁡ x − x − 1 − arctan ⁡ x + C 3\arctan x-x^{-1}-\arctan x+C 3arctanx−x−1−arctanx+C
= 2 arctan ⁡ x − x − 1 + C 2\arctan x-x^{-1}+C 2arctanx−x−1+C

\quad
例题11: f ( x ) f(x) f(x)的一个原函数是 ln ⁡ x \ln x lnx,求 f ′ ( x ) f'(x) f′(x)
依题意得: ( ln ⁡ x ) ′ = f ( x ) (\ln x)'=f(x) (lnx)′=f(x)
∴ \therefore ∴ f ( x ) = 1 x f(x)=\frac{1}{x} f(x)=x1​
∴ \therefore ∴ f ′ ( x ) = − 1 x 2 f'(x)=-\frac{1}{x^2} f′(x)=−x21​

\quad
\quad

三. 第一类换元法(凑微分)

推导:
∫ cos ⁡ x d x = sin ⁡ x + C \int \cos xdx=\sin x+C ∫cosxdx=sinx+C
-> ∫ cos ⁡ u d u = sin ⁡ u + C \int \cos udu=\sin u+C ∫cosudu=sinu+C
-> ∫ cos ⁡ 3 x d 3 x = sin ⁡ 3 x + C \int \cos 3xd3x=\sin3x+C ∫cos3xd3x=sin3x+C

\quad

\quad
例题12: ∫ e − x d x \int e^{-x}dx ∫e−xdx
= − ∫ e − x d ( − x ) -\int e^{-x}d(-x) −∫e−xd(−x)
= − e − x + C -e^{-x}+C −e−x+C

\quad
例题13: ∫ cos ⁡ ( 3 x + 2 ) d x \int \cos(3x+2)dx ∫cos(3x+2)dx
= 1 3 ∫ cos ⁡ ( 3 x + 2 ) d 3 x \frac{1}{3}\int \cos(3x+2)d3x 31​∫cos(3x+2)d3x
= 1 3 ∫ cos ⁡ ( 3 x + 2 ) d ( 3 x + 2 ) \frac{1}{3}\int \cos(3x+2)d(3x+2) 31​∫cos(3x+2)d(3x+2) \quad \quad (后面可以加减常数,结果不变)
= 1 3 sin ⁡ ( 3 x + 2 ) + C \frac{1}{3} \sin(3x+2)+C 31​sin(3x+2)+C

\quad
例题14: ∫ e 1 − x d x \int e^{1-x}dx ∫e1−xdx
= − ∫ e 1 − x d ( − x ) -\int e^{1-x}d(-x) −∫e1−xd(−x)
= − ∫ e 1 − x d ( − x + 1 ) -\int e^{1-x}d(-x+1) −∫e1−xd(−x+1)
= − e 1 − x + C - e^{1-x}+C −e1−x+C

\quad
例题15: ∫ sin ⁡ ( 2 x − 1 ) d x \int \sin(2x-1)dx ∫sin(2x−1)dx
= 1 2 ∫ sin ⁡ ( 2 x − 1 ) d 2 x \frac{1}{2}\int \sin(2x-1)d2x 21​∫sin(2x−1)d2x
= 1 2 ∫ sin ⁡ ( 2 x − 1 ) d ( 2 x − 1 ) \frac{1}{2}\int \sin(2x-1)d(2x-1) 21​∫sin(2x−1)d(2x−1)
= − 1 2 cos ⁡ ( 2 x − 1 ) + C -\frac{1}{2}\cos(2x-1)+C −21​cos(2x−1)+C

\quad
例题16: ∫ 2 x + 1 d x \int \sqrt{2x+1}dx ∫2x+1 ​dx
= 1 2 ∫ 2 x + 1 d 2 x \frac{1}{2}\int\sqrt{2x+1}d2x 21​∫2x+1 ​d2x
= 1 2 ∫ 2 x + 1 d ( 2 x + 1 ) \frac{1}{2}\int\sqrt{2x+1}d(2x+1) 21​∫2x+1 ​d(2x+1)
= 1 2 ∗ 2 3 ( 2 x + 1 ) 3 2 + C \frac{1}{2}*\frac{2}{3}(2x+1)^{\frac{3}{2}}+C 21​∗32​(2x+1)23​+C
= 1 3 ( 2 x + 1 ) 3 2 + C \frac{1}{3}(2x+1)^{\frac{3}{2}}+C 31​(2x+1)23​+C

\quad
例题17: ∫ 1 1 + 4 x 2 d x \int \frac{1}{1+4x^2}dx ∫1+4x21​dx
= ∫ 1 1 + ( 2 x ) 2 d x \int \frac{1}{1+(2x)^2}dx ∫1+(2x)21​dx
= 1 2 ∫ 1 1 + ( 2 x ) 2 d ( 2 x ) \frac{1}{2}\int \frac{1}{1+(2x)^2}d(2x) 21​∫1+(2x)21​d(2x)
= 1 2 arctan ⁡ 2 x + C \frac{1}{2}\arctan2x+C 21​arctan2x+C

\quad
例题18: ∫ 1 2 x + 1 d x \int \frac{1}{2x+1}dx ∫2x+11​dx
= 1 2 ∫ 1 2 x + 1 d 2 x \frac{1}{2}\int \frac{1}{2x+1}d2x 21​∫2x+11​d2x
= 1 2 ∫ 1 2 x + 1 d ( 2 x + 1 ) \frac{1}{2}\int \frac{1}{2x+1}d(2x+1) 21​∫2x+11​d(2x+1)
= 1 2 ln ⁡ ( 2 x + 1 ) + C \frac{1}{2}\ln(2x+1)+C 21​ln(2x+1)+C

\quad

\quad
例题19: ∫ x e x 2 d x \int xe^{x^2}dx ∫xex2dx
= 1 2 ∫ e x 2 2 x d x \frac{1}{2}\int e^{x^2}2xdx 21​∫ex22xdx
= 1 2 ∫ e x 2 ( x 2 ) ′ d x \frac{1}{2}\int e^{x^2}(x^2)'dx 21​∫ex2(x2)′dx
= 1 2 ∫ e x 2 d x 2 \frac{1}{2}\int e^{x^2}dx^2 21​∫ex2dx2
= 1 2 e x 2 + C \frac{1}{2}e^{x^2}+C 21​ex2+C

\quad
例题20: ∫ e x x d x \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx ∫x ​ex ​​dx
= ∫ e x ∗ 1 x d x \int e^{\sqrt{x}}*\frac{1}{\sqrt{x}}dx ∫ex ​∗x ​1​dx
= ∫ e x ∗ ( 2 x ) ′ d x \int e^{\sqrt{x}}*(2\sqrt{x})'dx ∫ex ​∗(2x ​)′dx
= ∫ e x d ( 2 x ) \int e^{\sqrt{x}}d(2\sqrt{x}) ∫ex ​d(2x ​)
= 2 ∫ e x d x 2\int e^{\sqrt{x}}d\sqrt{x} 2∫ex ​dx ​
= 2 e x + C 2e^{\sqrt{x}}+C 2ex ​+C

\quad
例题21: ∫ ln ⁡ x x d x \int \frac{\ln x}{x}dx ∫xlnx​dx
= ∫ ln ⁡ x ∗ 1 x d x \int \ln x*\frac{1}{x}dx ∫lnx∗x1​dx
= ∫ ln ⁡ x ∗ ( ln ⁡ x ) ′ d x \int \ln x*(\ln x)'dx ∫lnx∗(lnx)′dx
= ∫ ln ⁡ x d ( ln ⁡ x ) \int \ln xd(\ln x) ∫lnxd(lnx) 令 ln ⁡ x \ln x lnx为 u u u
= ∫ u d u \int udu ∫udu
= 1 2 u 2 + C \frac{1}{2}u^2+C 21​u2+C
= 1 2 ( ln ⁡ x ) 2 + C \frac{1}{2}(\ln x)^2+C 21​(lnx)2+C

\quad
例题22: ∫ 2 x 2 + x 2 d x \int \frac{2x}{2+x^2}dx ∫2+x22x​dx
= ∫ 1 2 + x 2 ∗ 2 x d x \int \frac{1}{2+x^2}*2xdx ∫2+x21​∗2xdx
= ∫ 1 2 + x 2 ( x 2 ) ′ d x \int \frac{1}{2+x^2}(x^2)'dx ∫2+x21​(x2)′dx
= ∫ 1 2 + x 2 d ( x 2 + 2 ) \int \frac{1}{2+x^2}d(x^2+2) ∫2+x21​d(x2+2)
= ln ⁡ ( x 2 + 2 ) + C \ln (x^2+2)+C ln(x2+2)+C

\quad
例题23: 若 ∫ f ( x ) d x = e 2 x + C \int f(x)dx=e^{2x}+C ∫f(x)dx=e2x+C,则 f ( x ) = f(x)= f(x)=_____
2 e 2 x 2e^{2x} 2e2x

\quad
例题24:

\quad
例题25: ∫ x 1 − x 2 d x \int x\sqrt{1-x^2}dx ∫x1−x2 ​dx
= ∫ 1 − x 2 x d x \int \sqrt{1-x^2}xdx ∫1−x2 ​xdx
= 1 2 ∫ 1 − x 2 2 x d x \frac{1}{2}\int \sqrt{1-x^2}2xdx 21​∫1−x2 ​2xdx
= 1 2 ∫ 1 − x 2 ( x 2 ) ′ d x \frac{1}{2}\int \sqrt{1-x^2}(x^2)'dx 21​∫1−x2 ​(x2)′dx
= − 1 2 ∫ 1 − x 2 d ( − x 2 + 1 ) -\frac{1}{2}\int \sqrt{1-x^2}d(-x^2+1) −21​∫1−x2 ​d(−x2+1)
= − 1 2 ∗ 2 3 ( 1 − x 2 ) 3 2 + C -\frac{1}{2}*\frac{2}{3}(1-x^2)^{\frac{3}{2}}+C −21​∗32​(1−x2)23​+C
= − 1 3 ( 1 − x 2 ) 3 2 + C -\frac{1}{3}(1-x^2)^{\frac{3}{2}}+C −31​(1−x2)23​+C

\quad
理解:

1. [ ∫ f ( x ) d x ] ′ = f ( x ) [\int f(x)dx]'=f(x) [∫f(x)dx]′=f(x)

2. d ∫ f ( x ) d x = f ( x ) d x d\int f(x)dx=f(x)dx d∫f(x)dx=f(x)dx

3. ∫ F ′ ( x ) d x = F ( x ) + C \int F'(x)dx=F(x)+C ∫F′(x)dx=F(x)+C

4. ∫ d F ( x ) = F ( x ) + C \int dF(x)=F(x)+C ∫dF(x)=F(x)+C \quad ∫ d sin ⁡ x = sin ⁡ x + C \int d\sin\sqrt{x}=\sin\sqrt{x}+C ∫dsinx ​=sinx ​+C

\quad
例题26: ∫ cos ⁡ 3 x d x \int \cos^3xdx ∫cos3xdx
= ∫ cos ⁡ 2 x ∗ cos ⁡ x d x \int \cos^2x*\cos xdx ∫cos2x∗cosxdx
= ∫ ( 1 − sin ⁡ 2 x ) ( sin ⁡ x ) ′ d x \int (1-\sin^2x)(\sin x)'dx ∫(1−sin2x)(sinx)′dx
= ∫ ( 1 − sin ⁡ 2 x ) d sin ⁡ x \int (1-\sin^2x)d\sin x ∫(1−sin2x)dsinx
= ∫ 1 d sin ⁡ x − ∫ sin ⁡ 2 x d sin ⁡ x \int 1d\sin x-\int \sin^2xd\sin x ∫1dsinx−∫sin2xdsinx
= sin ⁡ x − 1 3 ( sin ⁡ x ) 3 + C \sin x-\frac{1}{3}(\sin x)^3+C sinx−31​(sinx)3+C

\quad
\quad

四. 第二类换元法

实在没办法了且带根号的才用第二换元法

第一类根换

\quad
例题27: ∫ 1 1 + x d x \int \frac{1}{1+\sqrt{x}}dx ∫1+x ​1​dx \quad \quad \quad 令 x = u , x = u 2 \sqrt{x}=u, x=u^2 x ​=u,x=u2
= ∫ 1 1 + u d u 2 \int \frac{1}{1+u}du^2 ∫1+u1​du2
= ∫ 1 1 + u ( u 2 ) ′ d u \int \frac{1}{1+u}(u^2)'du ∫1+u1​(u2)′du
= ∫ 2 u 1 + u d u \int \frac{2u}{1+u}du ∫1+u2u​du
= 2 ∫ u 1 + u d u 2\int\frac{u}{1+u}du 2∫1+uu​du
= 2 ∫ u + 1 − 1 1 + u d u 2\int\frac{u+1-1}{1+u}du 2∫1+uu+1−1​du
= 2 ∫ 1 + u 1 + u − 1 1 + u d u 2\int\frac{1+u}{1+u}-\frac{1}{1+u}du 2∫1+u1+u​−1+u1​du
= 2 ∫ 1 d u − ∫ 1 1 + u d u 2\int1du-\int\frac{1}{1+u}du 2∫1du−∫1+u1​du
= 2 u − ln ⁡ ( 1 + u ) + C 2u-\ln(1+u)+C 2u−ln(1+u)+C
= 2 x − ln ⁡ ( 1 + x ) + C 2\sqrt{x}-\ln(1+\sqrt{x})+C 2x ​−ln(1+x ​)+C

\quad
例题28: ∫ 1 1 + x d x \int \frac{1}{\sqrt{1+x}}dx ∫1+x ​1​dx \quad \quad 令 1 + x = u , x = u 2 − 1 \sqrt{1+x}=u, \quad x=u^2-1 1+x ​=u,x=u2−1
= ∫ 1 u d ( u 2 − 1 ) \int \frac{1}{u}d(u^2-1) ∫u1​d(u2−1)
= ∫ 1 u d u 2 \int \frac{1}{u}du^2 ∫u1​du2
= ∫ 1 u ( u 2 ) ′ d u \int \frac{1}{u}(u^2)'du ∫u1​(u2)′du
= ∫ 2 u u d u \int \frac{2u}{u}du ∫u2u​du
= ∫ 2 d u \int 2du ∫2du
= 2 u + C 2u+C 2u+C
= 2 1 + x + C 2\sqrt{1+x}+C 21+x ​+C

\quad
例题29: ∫ x x + 1 d x \int x\sqrt{x+1}dx ∫xx+1 ​dx \quad \quad 令 x + 1 = u , x = u 2 − 1 \sqrt{x+1}=u, \quad x=u^2-1 x+1 ​=u,x=u2−1
= ∫ u ( u 2 − 1 ) d ( u 2 − 1 ) \int u(u^2-1)d(u^2-1) ∫u(u2−1)d(u2−1)
= ∫ u ( u 2 − 1 ) ( u 2 ) ′ d u \int u(u^2-1)(u^2)'du ∫u(u2−1)(u2)′du
= ∫ u ( u 2 − 1 ) 2 u d u \int u(u^2-1)2udu ∫u(u2−1)2udu
= 2 ∫ u 4 − u 2 d u 2\int u^4-u^2du 2∫u4−u2du
= 2 ( 1 5 u 5 − 1 3 u 3 ) + C 2(\frac{1}{5}u^5-\frac{1}{3}u^3)+C 2(51​u5−31​u3)+C
= 2 5 ( x + 1 ) 5 − 2 3 ( x + 1 ) 3 + C \frac{2}{5}(\sqrt{x+1})^5-\frac{2}{3}(\sqrt{x+1})^3+C 52​(x+1 ​)5−32​(x+1 ​)3+C

\quad
\quad

五. 分部积分法

( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ (uv)'=u'v+uv' (uv)′=u′v+uv′
u v ′ = ( u v ) ′ − u ′ v uv'=(uv)'-u'v uv′=(uv)′−u′v

∫ u v ′ d x = u v − ∫ u ′ v d x \int uv'dx=uv-\int u'vdx ∫uv′dx=uv−∫u′vdx

打油诗
多指弦, u u u选多 \quad \quad (多项式, 指数, 三角函数)
多反对, u u u不选多 \quad \quad (多项式, 反函数, 对数)

\quad
例题30: ∫ x ln ⁡ x d x \int x\ln xdx ∫xlnxdx \quad \quad (多对)
= ∫ 1 2 x 2 ln ⁡ x − ∫ 1 x ∗ 1 2 x 2 d x \int \frac{1}{2}x^2\ln x-\int \frac{1}{x}*\frac{1}{2}x^2dx ∫21​x2lnx−∫x1​∗21​x2dx
= ∫ 1 2 x 2 ln ⁡ x − ∫ 1 2 x d x \int \frac{1}{2}x^2\ln x-\int \frac{1}{2}xdx ∫21​x2lnx−∫21​xdx
= 1 2 x 2 ln ⁡ x − 1 4 x 2 + C \frac{1}{2}x^2\ln x-\frac{1}{4}x^2+C 21​x2lnx−41​x2+C

\quad
例题31: ∫ x e − x d x \int xe^{-x}dx ∫xe−xdx \quad \quad (多指) u = x , u ′ = 1 , v ′ = e − x , v = − e − x u=x, u'=1,v'=e^{-x},v=-e^{-x} u=x,u′=1,v′=e−x,v=−e−x
= − x e − x − ∫ − e − x d x -xe^{-x}-\int -e^{-x}dx −xe−x−∫−e−xdx
= − x e − x + ∫ e − x d x -xe^{-x}+\int e^{-x}dx −xe−x+∫e−xdx
= − x e − x − e − x + C -xe^{-x}-e^{-x}+C −xe−x−e−x+C

\quad
例题32: ∫ ln ⁡ x d x \int \ln xdx ∫lnxdx
= x ln ⁡ x − ∫ 1 x ∗ x d x x\ln x-\int \frac{1}{x}*xdx xlnx−∫x1​∗xdx
= x ln ⁡ x − ∫ 1 d x x\ln x-\int1dx xlnx−∫1dx
= x ln ⁡ x − x + C x\ln x-x+C xlnx−x+C

\quad
例题33: ∫ x arctan ⁡ x d x \int x \arctan xdx ∫xarctanxdx
= 1 2 x 2 arctan ⁡ x − 1 2 ∫ x 2 1 + x 2 d x \frac{1}{2}x^2\arctan x-\frac{1}{2}\int \frac{x^2}{1+x^2}dx 21​x2arctanx−21​∫1+x2x2​dx
= 1 2 x 2 arctan ⁡ x − 1 2 ∫ x 2 + 1 − 1 x 2 + 1 d x \frac{1}{2}x^2\arctan x-\frac{1}{2}\int \frac{x^2+1-1}{x^2+1}dx 21​x2arctanx−21​∫x2+1x2+1−1​dx
= 1 2 x 2 arctan ⁡ x − 1 2 ( ∫ x 2 + 1 x 2 + 1 d x − ∫ 1 x 2 + 1 d x ) \frac{1}{2}x^2\arctan x-\frac{1}{2}(\int \frac{x^2+1}{x^2+1}dx-\int \frac{1}{x^2+1}dx) 21​x2arctanx−21​(∫x2+1x2+1​dx−∫x2+11​dx)
= 1 2 x 2 arctan ⁡ x − 1 2 x + 1 2 arctan ⁡ x + C \frac{1}{2}x^2\arctan x-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\arctan x+C 21​x2arctanx−21​x+21​arctanx+C

\quad
例题34: ∫ x cos ⁡ x d x \int x\cos xdx ∫xcosxdx
= x sin ⁡ x − ∫ sin ⁡ x d x x\sin x-\int \sin xdx xsinx−∫sinxdx
= x sin ⁡ x − ( − cos ⁡ x ) + C x\sin x-(-\cos x)+C xsinx−(−cosx)+C
= x sin ⁡ x + cos ⁡ x + C x\sin x+\cos x+C xsinx+cosx+C

\quad
例题35: ∫ ln ⁡ ( 1 + x ) d x \int \ln(1+x)dx ∫ln(1+x)dx
= ∫ 1 ∗ ln ⁡ ( 1 + x ) d x \int 1*\ln(1+x)dx ∫1∗ln(1+x)dx
= x ln ⁡ ( 1 + x ) − ∫ x 1 + x d x x \ln(1+x)-\int \frac{x}{1+x}dx xln(1+x)−∫1+xx​dx
= x ln ⁡ ( 1 + x ) − ∫ x + 1 − 1 1 + x d x x \ln(1+x)-\int \frac{x+1-1}{1+x}dx xln(1+x)−∫1+xx+1−1​dx
= x ln ⁡ ( 1 + x ) − ( ∫ 1 + x 1 + x d x − ∫ 1 1 + x d x ) x \ln(1+x)-(\int \frac{1+x}{1+x}dx-\int \frac{1}{1+x}dx) xln(1+x)−(∫1+x1+x​dx−∫1+x1​dx)
= x ln ⁡ ( 1 + x ) − x + ln ⁡ ( 1 + x ) + C x \ln(1+x)-x+\ln(1+x)+C xln(1+x)−x+ln(1+x)+C

\quad
\quad

六. 定积分

用于求曲形面积



面积只能为正, 积分有正有负

\quad

6.1. 定积分的性质

1. ∫ a a f ( x ) d x = 0 \int_{a}^af(x)dx=0 ∫aa​f(x)dx=0

2. ∫ a b d x = ∫ a b 1 d x = b − a \int_{a}^bdx=\int_{a}^b1dx=b-a ∫ab​dx=∫ab​1dx=b−a

3. ∫ a b f ( x ) d x = − ∫ b a f ( x ) d x \int_{a}^bf(x)dx=-\int_{b}^af(x)dx ∫ab​f(x)dx=−∫ba​f(x)dx

4. ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x \int_{a}^bf(x)dx=\int_{a}^cf(x)dx+\int_{c}^bf(x)dx ∫ab​f(x)dx=∫ac​f(x)dx+∫cb​f(x)dx \quad \quad 定积分的区间可加性

不论a,b,c的相对位置如何, 上式都成立

5. ∫ a b [ f ( x ) ± g ( x ) ] d x = ∫ a b f ( x ) d x ± ∫ a b g ( x ) d x \int_{a}^b[f(x)\pm g(x)]dx=\int_{a}^bf(x)dx\pm \int_{a}^bg(x)dx ∫ab​[f(x)±g(x)]dx=∫ab​f(x)dx±∫ab​g(x)dx \quad \quad 乘除不行

6. ∫ a b k ∗ f ( x ) d x = k ∗ ∫ a b f ( x ) d x \int_{a}^bk*f(x)dx=k*\int_{a}^bf(x)dx ∫ab​k∗f(x)dx=k∗∫ab​f(x)dx

7. ∫ − a a f ( x ) d x = 0 \int_{-a}^af(x)dx=0 ∫−aa​f(x)dx=0 \quad \quad 奇函数在对称区间上的定积分为0

奇 ± \pm ±奇=奇	奇(×)(÷)奇=偶
奇 ± \pm ±偶 = 非奇非偶	奇(×)(÷)偶=奇
偶 ± \pm ±(×)(÷)偶=偶

\quad
例题36:
(1) ∫ − 1 1 sin ⁡ x d x = 0 \int_{-1}^1\sin xdx=0 ∫−11​sinxdx=0

(2) ∫ − 2 2 x cos ⁡ x d x = 0 \int_{-2}^2x\cos xdx=0 ∫−22​xcosxdx=0

(3) ∫ − 3 3 x 1 + x 2 d x = 0 \int_{-3}^3\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx=0 ∫−33​1+x2 ​x​dx=0

\quad
例题37: ∫ − 1 1 ( 2 sin ⁡ x + 3 ) d x = \int_{-1}^1(2\sin x+3)dx= ∫−11​(2sinx+3)dx=_________

∫ − 1 1 2 sin ⁡ x d x + ∫ − 1 1 3 d x = 0 + 3 ∗ 2 = 6 \int_{-1}^12\sin xdx+\int_{-1}^13dx=0+3*2=6 ∫−11​2sinxdx+∫−11​3dx=0+3∗2=6

\quad
例题38: ∫ − 1 1 ( 5 sin ⁡ 2023 x − 2 tan ⁡ x + 3 ) d x = \int_{-1}^1(5\sin^{2023}x-2\tan x+3)dx= ∫−11​(5sin2023x−2tanx+3)dx=________
∫ − 1 1 5 sin ⁡ 2023 x d x − ∫ − 1 1 2 tan ⁡ x d x + ∫ − 1 1 3 d x = 0 − 0 + 6 \int_{-1}^15\sin^{2023}xdx-\int_{-1}^12\tan xdx+\int_{-1}^13dx=0-0+6 ∫−11​5sin2023xdx−∫−11​2tanxdx+∫−11​3dx=0−0+6

\quad
\quad

七. 牛顿-莱布尼兹公式(N-L)

\quad
例题39: ∫ 0 1 x 2 d x = \int_0^1x^2dx= ∫01​x2dx=_____
1 3 x 3 ∣ 0 1 = 1 3 − 0 = 1 3 \frac{1}{3}x^3|_0^1=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3} 31​x3∣01​=31​−0=31​

\quad
例题40: ∫ − 1 1 19 x 18 ( 1 + sin ⁡ x ) d x = \int_{-1}^119x^{18}(1+\sin x)dx= ∫−11​19x18(1+sinx)dx=______
∫ − 1 1 19 x 18 d x + ∫ − 1 1 sin ⁡ x d x = 19 ∗ 1 19 x 19 ∣ − 1 1 + 0 = 1 − ( − 1 ) = 2 \int_{-1}^119x^{18}dx+\int_{-1}^1\sin xdx=19*\frac{1}{19}x^{19}|_{-1}^1+0=1-(-1)=2 ∫−11​19x18dx+∫−11​sinxdx=19∗191​x19∣−11​+0=1−(−1)=2

\quad
例题41:
f ( x ) = { x x ≤ 1 2 x x > 1 f(x)=\begin{cases} x & x\leq1 \\ 2x & x>1 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \end{cases} f(x)={x2x​x≤1x>1​
求 ∫ 0 2 f ( x ) d x \int_{0}^2f(x)dx ∫02​f(x)dx

= ∫ 0 1 f ( x ) d x + ∫ 1 2 f ( x ) d x \int_{0}^1f(x)dx+\int_{1}^2f(x)dx ∫01​f(x)dx+∫12​f(x)dx
= 1 2 x 2 ∣ 0 1 + x 2 ∣ 1 2 \frac{1}{2}x^2|_0^1+x^2|_1^2 21​x2∣01​+x2∣12​
= 3 1 2 3\frac{1}{2} 321​

\quad
例题42: ∫ 0 1 ( 2 x − 1 ) 5 d x = \int_{0}^1(2x-1)^5dx= ∫01​(2x−1)5dx=_______
= 1 2 ∫ 0 1 ( 2 x − 1 ) 5 d ( 2 x ) \frac{1}{2}\int_{0}^1(2x-1)^5d(2x) 21​∫01​(2x−1)5d(2x)
= 1 2 ∫ 0 1 ( 2 x − 1 ) 5 d ( 2 x − 1 ) \frac{1}{2}\int_{0}^1(2x-1)^5d(2x-1) 21​∫01​(2x−1)5d(2x−1)
= 1 2 ∗ 1 6 ( 2 x − 1 ) 6 ∣ 0 1 \frac{1}{2}*\frac{1}{6}(2x-1)^6|_0^1 21​∗61​(2x−1)6∣01​
= 0 0 0

\quad

\quad

\quad
例题43: ∫ − 2 − 1 1 1 + 2 x + 5 d x \int_{-2}^{-1}\frac{1}{1+\sqrt{2x+5}}dx ∫−2−1​1+2x+5 ​1​dx

\quad
\quad

八. 定积分的分部积分法

\quad

\quad
例题44: ∫ 0 π 2 x sin ⁡ x d x \int_0^{\frac{π}{2}}x\sin xdx ∫02π​​xsinxdx

= [ 0 − 0 ] − [ − 1 − 0 ] = 1 [0-0]-[-1-0]=1 [0−0]−[−1−0]=1

\quad
例题45:

= 1 1 1

\quad
例题46:

= e 2 4 + 1 4 \frac{e^2}{4}+\frac{1}{4} 4e2​+41​

\quad
例题47:

\quad
例题48:

\quad
例题49: ∫ − 1 2 x e x 2 d x \int_{-1}^2xe^{x^2}dx ∫−12​xex2dx
= 1 2 ∫ − 1 2 e x 2 ∗ 2 x d x \frac{1}{2}\int_{-1}^2e^{x^2}*2xdx 21​∫−12​ex2∗2xdx
= 1 2 ∫ − 1 2 e x 2 ∗ ( x 2 ) ′ d x \frac{1}{2}\int_{-1}^2e^{x^2}*(x^2)'dx 21​∫−12​ex2∗(x2)′dx
= 1 2 ∫ − 1 2 e x 2 d ( x 2 ) \frac{1}{2}\int_{-1}^2e^{x^2}d(x^2) 21​∫−12​ex2d(x2)
= e 4 2 − e 2 \frac{e^4}{2}-\frac{e}{2} 2e4​−2e​

\quad
\quad

九. 定积分的几何应用

9.1 平面图形的面积

\quad
例50: 计算由直线 y = x y=x y=x和抛物线 y = x 2 y=x^2 y=x2所围成的平面图形的面积

交点(0,1), (1,1)

S 夹 = ∫ 0 1 x d x − ∫ 0 1 x 2 d x = 1 2 x 2 ∣ 0 1 − 1 3 x 3 ∣ 0 1 = 1 6 S_夹=\int_0^1xdx-\int_0^1x^2dx=\frac{1}{2}x^2|_0^1-\frac{1}{3}x^3|_0^1=\frac{1}{6} S夹​=∫01​xdx−∫01​x2dx=21​x2∣01​−31​x3∣01​=61​

\quad
\quad
例51: 计算由直线 y = x + 2 y=x+2 y=x+2和抛物线 y = x 2 y=x^2 y=x2所围成的平面图形的面积

{ y = x + 2 y = x 2 \begin{cases} y=x+2 \\ y=x^2 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\qquad\quad\qquad\qquad\qquad\qquad \end{cases} {y=x+2y=x2​
解出交点为(-1,1), (2,4)

S = ∫ − 1 2 ( x + 2 ) − x 2 d x = ( 1 2 x 2 + 2 x − 1 3 x 3 ) ∣ − 1 2 = 9 2 S=\int_{-1}^2(x+2)-x^2dx=(\frac{1}{2}x^2+2x-\frac{1}{3}x^3)|_{-1}^2=\frac{9}{2} S=∫−12​(x+2)−x2dx=(21​x2+2x−31​x3)∣−12​=29​

\quad
\quad

9.2 旋转体的体积

\quad
\quad
例52: 设曲线 y = e x y=e^x y=ex, 与直线 x = 0 , x = 1 x=0, x=1 x=0,x=1和 x x x轴围成的平面图形为D
(1) 求D的面积
(2) 求D围绕x轴旋转一周所得旋转体的体积

\quad
例53: 一直平面图形D由曲线 y = e x , y = x , x = 0 , x = 1 y=e^x, y=x, x=0, x=1 y=ex,y=x,x=0,x=1围成
(1) 求D的面积A
(2) 求D绕x轴旋转一周所得的体积V

\quad
例54: 设曲线 y = cos ⁡ x ( x ∈ [ 0 , π 2 ] ) y=\cos x(x\in [0,\frac{π}{2}]) y=cosx(x∈[0,2π​])与x轴及y轴所围成的平面图形为D
(1) 求D的面积A
(1) 求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积

\quad
例55: 已知平面图形D由曲线 y = 1 + x , y = 1 + x y=\sqrt{1+x}, y=1+x y=1+x ​,y=1+x围成
(1) 求D的面积A
(1) 求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积

\quad
\quad

十. 广义积分

\quad
例: ∫ 0 1 1 x d x = \int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx= ∫01​x ​1​dx=_______

∫ 0 1 x − 1 2 d x = 2 x 1 2 ∣ 0 1 = 2 \int_0^1 x^{-\frac{1}{2}}dx=2x^{\frac{1}{2}}|_0^1=2 ∫01​x−21​dx=2x21​∣01​=2

\quad
例: ∫ − ∞ 1 e x d x = \int_{-\infty}^1e^xdx= ∫−∞1​exdx=______

e x ∣ − ∞ 1 = e − 0 = e e^x|_{-\infty}^1=e-0=e ex∣−∞1​=e−0=e

\quad
例: ∫ − ∞ + ∞ 1 1 + x 2 d x \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}dx ∫−∞+∞​1+x21​dx______

arctan ⁡ x ∣ − ∞ + ∞ = π 2 − ( − π 2 ) = π \arctan x|_{-\infty}^{+\infty}=\frac{π}{2}-(-\frac{π}{2})=π arctanx∣−∞+∞​=2π​−(−2π​)=π

\quad
\quad

十一. 变上限积分

\quad
例: 设函数 f ( x ) = ∫ 0 x cos ⁡ 2 t d t f(x)=\int_0^x\cos^2tdt f(x)=∫0x​cos2tdt, 则 f ′ ( x ) = f'(x)= f′(x)=
cos ⁡ 2 x \cos^2x cos2x

\quad
例: 设函数 f ( x ) = ∫ 0 x 1 1 + t 2 d t f(x)=\int_0^x\frac{1}{1+t^2}dt f(x)=∫0x​1+t21​dt, 则 f ′ ( x ) = f'(x)= f′(x)=
1 1 + x 2 \frac{1}{1+x^2} 1+x21​