Dogleg法（狗腿法）的推导与步骤

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Dogleg法（狗腿法）的推导与步骤

     看SLAM视觉十四讲的时候了解到了信赖域法（Trust Region）的其中一种叫Dogleg，然而上网找了一圈，发现并没有较为详细的推导，自己整理了一下网上的资源，然后详细的推了一下：

     首先L-M法是G-N法与最速下降法的混合形式，通过调整阻尼因子来在这两种方法之间切换，而狗腿法类似，只不过它是通过改变信赖域来实现的。这里可以分为两个问题：

1. 如何判断是使用G-N法还是最速下降法的增量？
2. 如果确定了是使用哪个方法，那么它对应的增量是多少？
3. 狗腿法的增量为多少？

首先关于第二个问题，如果学过最速下降法和G-N法，那么可以知道，他们对应的增量分别为：

       G-N法为:             最速下降法为：

     这里需要注意的是 ：最速下降法的增量的方向，也就是的值，并不是雅克比矩阵的转置，这里我绕了很久，发现，十四讲的书上的雅克比矩阵其实是的雅克比矩阵，并不是f(x)的雅克比矩阵，如果我们将f(x)的雅克比矩阵计算出来为,那么F(x)的雅克比矩阵实际上是，推导如下：

     回到上面两个增量，这里的为多少呢？推导如下：

   然后我们将和相乘，发现最速下降法的增量，在网上很多地方都会将它命名为。

   另外G-N法的增量，网上很多地方将它命名为。

 以上，我们解决了之前提出的第二个问题，也就是这两个方法的增量为多少：

最速下降法：（也可以叫做或者）

G-N法：（也可以叫做或者）

然后来解决剩下两个问题，这两个问题其实可以合起来，也就是问：狗腿法的增量和G-N法、最速下降法的增量有什么关系？

        狗腿法“人为地”定义了利用信赖域来选择狗腿法的增量为多少（或者说狗腿法每一步的迭代步长），我在网上看到了两种方法，本质都是一样的，但是实施起来稍微有点不同：

方法一：

       这里的三种情况可以对应如下的三个图（上面的表示信赖域半径）：

利用上面的判断标准来得出狗腿法对应的迭代步长。

  方法二：

这里tau的选取方式如下：

                       
需要注意的是第三个情况，这种情况的值为delta，我们可以将等式两边同时求2范数的平方，并且将tau-1看做，于是可以写成：   

解这个2元1次方程就可以得出,再求tau。

至此，通过以上方法可以求出狗腿法对应的步长（或叫）。

然后计算增益比，增益比的计算我见过分母上使用一阶近似，或者二阶近似，至于怎么选取我并不是很懂。但是我看网上别人的大都采用二阶近似。当使用计算出之后，我们根据如下的判断标准来调整信赖域的半径：

这里。然后不断地循环迭代。

以上的内容是参考别人的博客加上自己的理解和整理，参考地址如下：

狗腿法+算法描述

狗腿法

狗腿法+信赖域

f(x)和F(x)的梯度和雅克比矩阵